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一、罗素悖论

一天,萨维尔村理发师挂出了一块招牌:村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发。于是有人问他:“您的头发谁给理呢?”理发师顿时哑口无言。

1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为它们的基础。到十九世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基础上了。就在这时,集合论接连出现了一系列自相矛盾的结果。特别是1902年罗素提出理发师故事反映的悖论,它极为简单、明确、通俗。于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机”。此后,为了克服这些悖论,数学家们做了大量研究工作,由此产生了大批新成果,也带来了数学观念的革命。

二、说谎者悖论:

“我正在说的这句话是慌话。”公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这个悖论,至今还在困扰着数学家和逻辑学家。这就是著名的说慌者悖论。类似的悖论最早是在公元前六世纪出现的,当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说过:“所有的克里特岛人都说慌。”在中国古代《墨经》中,也有一句十分相似的话:“以言为尽悖,悖,说在其言。”意思是:以为所有的话都是错的,这是错的,因为这本身就是一句话。

说慌者悖论有多种变化形式,例如,在同一张纸上写出下列两句话:

下一句话是慌话。

上一句话是真话。

更有趣的是下面的对话。甲对乙说:“你下面要讲的是‘不’,对不对?请用‘是’或‘不’来回答!”

还有一个例子。有个虔诚的教徒,他在演说中口口声声说上帝是无所不能的,什么事都做得到。一位过路人问了一句话:“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗?”

三、芝诺悖论:

阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步,忽然发现在他前面一百米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说:“阿基里斯,谁说你跑得最快?你连我都追不上!”阿基里斯说:“胡说!我的速度比你快何止上百倍!就算刚好是你的十倍,我也马上就可以超过你!”乌龟说:“就照你说的,咱们来试一试吧!当你跑到我现在这个地方,我已经向前跑了十米。当你向前跑过十米时,我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方,我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近,却永远也追不上我!”阿基里斯说:“哎呀,我明明知道能追上你,可是你说的好像也有道理。这到底是怎么回事呢?”

这个有趣的悖论,是公元前五世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。在两千多年的时间里,它使数学家和哲学家伤透了脑筋。芝诺悖论关键是使用了两种不同的时间测度。原来,我们用来测定时间的任何一种“钟”,都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天东升西落,月亮的圆缺变化,一年四季的推移,钟摆的运动等等。人们正是利用循环或重复运动的次数作为时间的测量标准的。

芝诺悖论中除了普通的钟以外,还有另一种很特别的“钟”,这就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。用这种重复性过程测得的时间称为芝诺时。例如,当阿基里斯第n次到达乌龟在第n次的起点时,芝诺时记为n,这样,在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟的后面。但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完一百米用了一分钟,那么他到达第二次乌龟的起点要六秒钟,下一次要0.6秒,实际上,他只需要分钟就可以追上乌龟了。因此,芝诺时的产生原因,是在于“芝诺时”不可能测量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后,正常计时仍可以进行,只不过芝诺的“钟”已经无法测量它们了。

这个悖论实际上是反映了时空并不是无限可分的,运动也不是连续的。即朴素的量子论。

悖论反映了严密的数学并不是铁板一块,它的数学概念,原理之中也存在许多矛盾。数学就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的。悖论的存在,还告诉我们,在学习与研究数学时,必须牢记古希腊数学家的名言:要怀疑一切,只有这样才能有所发现。
posted on 2006-04-10 15:26 gxc 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏