### 《组合数学》
组合数学基础。
#@author: gr
#@date: 2014-12-10
#@email: forgerui@gmail.com
一、排列、组合、二项式定理
1.1 加法、乘法原理
这章的知识基本用高中时的知识就可以解决了，分析每种情况，将所有情况相加。
1.2 排列与组合
排列： \(P(n, n) = n!\)
圆排列：n元集合S的r圆排列数为$$\dfrac{P(n,r)}{r} = \dfrac{n!}{r(n-r)!}$$
组合： $$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$
1.3 多重集合的排列与组合
- 多重集合$ M = { \infty \cdot a_1 , \infty \cdot a_2, \cdots, \infty \cdot a_k }$ 的 r 排列数为 $$ k^r $$。
- 多重集合$ M = { k_1 \cdot a_1 , k_2 \cdot a_2, \cdots, k_n \cdot a_n }$ 的 全排列数为\(\dbinom{(k_1 + k_2 + \cdots + k_n)!}{k_1 ! k_2 !\cdots k_n!}\)。
- 多重集合$ M = { \infty \cdot a_1 , \infty \cdot a_2, \cdots, \infty \cdot a_k }$ 的 r 组合数为 \(\dbinom{r + k - 1}{r}\)
二、容斥原理与鸽巢原理
1. 容斥原理
\[\mid \overline A \cap \overline {B} \cap \overline C \mid ~ = ~ \mid S \mid - (\mid A \mid + \mid B \mid + \mid C \mid) + (\mid A \cap B \mid + \mid A \cap C\mid + \mid B \cap C\mid) - \mid A \cap B \cap C \mid
\]
2. 鸽巢原理
三、递推关系
1. 递推关系与特征方程解
- ** 齐次：**
- 非齐次：
2. 迭代法求解递归关系
3. Fibonacci & Catalan
四、生成函数
1. 形式幂级数
2. 生成函数性质
\[G\{1\} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots = \dfrac{1}{1-x}
\]
\[G\{k\} = x + 2x^2 + 3x^3 + \cdots + nx^n + \cdots = \dfrac{x}{(1-x)^2}
\]
\[G\{a^k\} = \dfrac{1}{1-ax}
\]
\[G\{\dfrac{1}{k!}\} = e^x
\]
\[G\{k^2\} = \dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}
\]
\[G\{\binom{n+k}{k}\} = \dfrac{1}{(1-x)^{n+1}}
\]
