hdu 4686 Arc of Dream(矩阵快速幂）

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4686

题意：

其中a0 = A0
ai = ai-1*AX+AY
b0 = B0
bi = bi-1*BX+BY

最后的结果mod 1,000,000,007

n<=10^18.

分析：ai*bi=(ai-1 *ax+ay)*(bi-1 *bx+by)

                =(ai-1 * bi-1 *ax*bx)+(ai-1 *ax*by)+(bi-1 *bx*ay)+(ay*by)

设p=ax*bx,  q=ax*by,  r=ay*bx,  s=ay*by

所以ai*bi=p(ai-1 * bi-1)+q(ai-1)+r(bi-1)+s

虽然可以用递推来求出每一项，但是n太大了，直接求绝对会超时的。

设f(n)=an*bn,  a(n)=an,  b(n)=bn

s(n)=sum(ai*bi),i=0,1,...n

则f(i)=p*f(i-1)+q*a(i-1)+r*b(i-1)+s

这是一个递推式，对于任何一个递推式，我们都可以用矩阵法来优化，加快速度求出第n项或前n项和。

我们可以构造一个5*5的矩阵A，使得

【f(n-1),a(n-1),b(n-1),1,s(n-2)】*A=【f(n),a(n),b(n),1,s(n-1)】

=【p*f(n-1)+q*a(n-1)+r*b(n-1)+s, a(n-1)*ax+ay, b(n-1)*bx+by, 1, s(n-2)+f(n-1)】

所以我们容易得出矩阵A： 【   axbx    0   0   0   1

                                          axby   ax   0   0   0

                                          aybx    0   bx  0   0

                                         ayay   ay  by   1   0

                                         0         0    0    0   1 】

由【f(1), a(1) ,b(1), 1, s(0)】*A = 【f(2), a(2), b(2), 1, s(1)】

以此类推得，【f(1), a(1) ,b(1), 1, s(0)】*A^(n-1) = 【f(n), a(n), b(n), 1, s(n-1)】

这样就可以快速的求出s(n-1)了，

其中f(1)=a1*b1, a(1)=a0*ax+ay,

b(1)=b0*bx+by, s(0)=a0*b0

接下来就是矩阵快速幂了。

注意：n==0时，直接输出0，不然会死循环TLE的，还有就是要用long long,也要记得mod

AC代码如下：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 //#define LL __int64
 4 #define LL long long
 5 #define M 1000000007
 6 struct Matrix
 7 {
 8     LL a[6][6];
 9 }origin,res,tmp,A,ans;
10 int n;
11 Matrix mul(Matrix x,Matrix y)
12 {
13     int i,j,k;
14     memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));
15     for(i=1;i<=n;i++)
16         for(j=1;j<=n;j++)
17             for(k=1;k<=n;k++)
18             {
19                 tmp.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%M;
20                 tmp.a[i][j]%=M;
21             }
22     return tmp;
23 }
24 void quickpow(LL k)
25 {
26     int i;
27     memset(res.a,0,sizeof(res.a));
28     for(i=1;i<=n;i++)
29         res.a[i][i]=1;
30     while(k)
31     {
32         if(k&1)
33             res=mul(res,A);
34         A=mul(A,A);
35         k>>=1;
36     }
37 }
38 int main()
39 {
40     LL N,a0,ax,ay,b0,bx,by;
41     LL f1,a1,b1,s0;
42 //    while(scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d %I64d %I64d",&N,&a0,&ax,&ay,&b0,&bx,&by)!=EOF)
43     while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld %lld",&N,&a0,&ax,&ay,&b0,&bx,&by)!=EOF)
44     {
45         if(N==0)
46         {
47             printf("0\n");
48             continue;
49         }
50         a1=(a0*ax+ay)%M;
51         b1=(b0*bx+by)%M;
52         f1=(a1*b1)%M;
53         s0=(a0*b0)%M;
54         n=5;
55         memset(origin.a,0,sizeof(origin.a));
56         origin.a[1][1]=f1;
57         origin.a[1][2]=a1;
58         origin.a[1][3]=b1;
59         origin.a[1][4]=1;
60         origin.a[1][5]=s0;
61         memset(A.a,0,sizeof(A.a));
62         A.a[1][1]=(ax*bx)%M;
63         A.a[1][5]=1;
64         A.a[2][1]=(ax*by)%M;
65         A.a[2][2]=ax%M;
66         A.a[3][1]=(ay*bx)%M;
67         A.a[3][3]=bx%M;
68         A.a[4][1]=(ay*by)%M;
69         A.a[4][2]=ay%M;
70         A.a[4][3]=by%M;
71         A.a[4][4]=1;
72         A.a[5][5]=1;
73 
74         quickpow(N-1);
75         ans=mul(origin,res);
76     //    printf("%I64d\n",ans.a[1][5]);
77         printf("%lld\n",ans.a[1][5]);
78     }
79     return 0;
80 }
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posted on 2013-08-21 23:51  jumpingfrog0  阅读(1718)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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