[TAOCP 1.2.2-25]习题25的证明

参考原文：http://math.stackexchange.com/questions/61614/how-does-knuths-algorithm-for-calculating-logarithm-work

基本思想是将x表示为乘积：$x=\prod{a_i}$

其中，$a_i \ge a_{i+1} > 1$，如此一来，有：
$\log_b{x}=\sum\log_b{a_i}$
 
每次执行到L4，我们都得到了一个最小的k，使得针对本次迭代的输入x，有：
$\frac{2^k-1}{2^k}x \ge 1$
$x\geq\frac{2^k}{2^k-1} > 1$

取$a_1 = 2^k / (2^k - 1)$，则：
$x=a_1x'$
$x'=\frac{2^k-1}{2^k}x$

x'将作为新的x进入下一次迭代。

附加说明一下，k的值是累加的，没有在新的迭代中重新设为1。这意味着对$x''$的寻找是从$(2^k - 1 / 2^k)x'$开始的，而不是x/2。
这是合理的，因为$x'$的最大因子必然小于等于x的最大因子$a_1$：
$\frac{2^{k'}}{2^{k'}-1}\le\frac{2^k}{2^k-1}$

从而有$k' \ge k$，所以新的迭代开始时，k保留原值就可以了。