算法学习(1)----扩展欧几里得算法

摘自百度百科

欧几里德算法


欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。
gcd函数的基本性质:
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

公式表述

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

C++语言实现

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int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

扩展算法

对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在无数组整
数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

c++语言实现

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int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int q=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}
 
求解 x,y的方法的理解
设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现:
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int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a'=b,b'=a%b 而言,我们求得 x, y使得 a'x+b'y=Gcd(a',b')
由于b'=a%b=a-a/b*b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x+b'y=Gcd(a',b') ===>
bx+(a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y)
使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法
对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
有种较为不严谨的方法证明,不过至少弥补了一点空白,望某些数论大师补充修改:
由于我们知道,存在一组x与y使得a*x+b*y=gcd(a,b)。
将等式两边同时乘以整数k,即a*x*k+b*y*k=gcd(a,b)*k。如果c mod gcd(a,b)=f,则0<=f<gcd(a,b)。
那么可以令c=gcd(a,b)*k+f。这样一来,就有a*x*k+b*y*k+f=c。
若f 0,由于f<gcd(a,b)<=a<=b(假设a<=b),所以不存在f=a*m(m为整数),也就不存在a*(x*k+m)+b*y*k=c。也就是说,不存在a*x+b*y=c的整数解x与y。
所以f=0,即只有当c mod gcd(a,b)=0时,a*x+b*y=c有正整数解。得证。
上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足:
p = p0 + b/Gcd(a, b) * t
q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可,但是所得解并不是该方程的所有解,找其所有解的方法如下:
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后,可以
得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)),p * a+q * b = c的其他整数解满足:
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
编程时 exgcd 更多用于求解“中国剩余定理”相关知识 举个例子比如n除以5余2 除以13余3 那么n最小是多少,所有的n满足什么条件?
n(min)=42
n=42+k*65
欧几里德算法的扩展
扩展欧几里德算法不但能计算(a,b)的最大公约数,而且能计算a模b及b模a的乘法逆元,用C语言描述如下:
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int gcd(int a,int b,int &ar,int &br)
{
    int x1,x2,x3;
    int y1,y2,y3;
    int t1,t2,t3;
    if(0==a)//有一个数为0,就不存在乘法逆元
    {
        ar=0;br=0;
        return b;
    }
    if(0==b)
    {
        ar=0;br=0;
        return a;
    }
    x1=1;x2=0;x3=a;
    y1=0;y2=1;y3=b;
    int nk;
    for(t3=x3%y3;t3!=0;t3=x3%y3)
    {
        k=x3/y3;
        t2=x2-k*y2;t1=x1-k*y1;
        x1=y1;x2=y2;x3=y3;
        y1=t1;y2=t2;y3=t3;
    }
    if(y3==1)//有乘法逆元
    {
        ar=(y2+b)%b;//对求出来负的乘法逆元进行处理,使之在模b的完全剩余集里
        br=(y1+a)%a;//原来这里是错的
        return 1;
    }
    else//公约数不为1,无乘法逆元
    {
        ar=0;
        br=0;
        return y3;
    }
}
扩展欧几里德算法对于最大公约数的计算和普通欧几里德算法是一致的。计算乘法逆元则显得很难明白。我想了半个小时才想出证明他的方法。
首先重复操作整除中的一个论断:
如果gcd(a,b)=d,则存在m,n,使得d = ma + nb,称呼这种关系为a、b组合整数d,m,n称为组合系数。当d=1时,有 ma + nb = 1 ,此时可以看出m是a模b的乘法逆元,n是b模a的乘法逆元。
为了证明上面的结论,我们把上述计算中xi、yi看成ti的迭代初始值,考察一组数(t1,t2,t3),用归纳法证明:当通过扩展欧几里德算法计算后,每一行都满足a×t1 + b×t2 = t3
第一行:1 × a + 0 × b = a成立
第二行:0 × a + 1 × b = b成立
假设前k行都成立,考察第k+1行
对于k-1行和k行有
t1(k-1) t2(k-1) t3(k-1)
t1(k) t2(k) t3(k)
分别满足:
t1(k-1) × a + t2(k-1) × b = t3(k-1)
t1(k) × a + t2(k) × b = t3(k)
根据扩展欧几里德算法,假设t3(k-1) = j t3(k) + r
则:
t3(k+1) = r
t2(k+1) = t2(k-1) - j × t2(k)
t1(k+1) = t1(k-1) - j × t1(k)
t1(k+1) × a + t2(k+1) × b
=t1(k-1) × a - j × t1(k) × a +
t2(k-1) × b - j × t2(k) × b
= t3(k-1) - j t3(k) = r
= t3(k+1)
得证
因此,当最终t3迭代计算到1时,有t1× a + t2 × b = 1,显然,t1是a模b的乘法逆元,t2是b模a的乘法逆元。
posted @ 2016-07-28 21:53  HorseShoe2016  阅读(951)  评论(0编辑  收藏  举报