数学误区：乘积的求和
乘积的积分
对于求和的运算，例如算术求和和定积分运算是线性的，因而满足线性叠加律，即：
\[\int{(f(x)+g(x))}dx=\int{f(x)}dx+\int{g(x)dx}
\]
但是对于两个函数的乘积，却未必有类似的结论：
\[\int{f(x)\cdot g(x)}dx\neq \int{f(x)}dx\cdot\int{g(x)}dx
\]
这点可以用下面的例子来验证,例如，我们可以取:
\[f_1(x)=2x,f_2(x)=3x^2
\]
可以验证，这两个函数在[0,1]的区间上都满足归一化条件，现在取这两者在[0,1]上的积分有：
\[\int_0^1 {2x\cdot 3x^2}dx=\int_0^1 6x^3 dx=3/2\neq 1=\int_0^1 2xdx \cdot \int_0^1 3x^2 dx
\]
只有当这两个乘积函数相互独立时，乘积的平均才等同于平均的乘积，这可以直接用多重积分的性质证明。
\[\iint_{0,0}^{1,1}{f(x)g(y)}dxdy=\int{f(x)}dx\cdot \int{g(y)}dy
\]
同样可以用例子验证，例如这里取：f(x)=2x, g(y)=3y^2
\[\iint_{0,0}^{1,1}{2x\cdot 3y^2}dxdy=\iint_{0,0}^{1,1}{6xy}dxdy=1=\int_0^1 2xdx \cdot \int_0^1 3y^2dy
\]
乘积的平均
在磁流体力学中，定义了流体元对某物理量分布A(v,r,t)的平均密度如下式[1]：
\[<A>=\frac{\iiint A(\vec{v},\vec{r},t) f(\vec{v},\vec{r},t)d\vec{v}} {\iiint f(\vec{v},\vec{r},t)d\vec{v}}=\frac{1}{n}\iiint{A fd\vec{v}}
\]
其中有f是物理量在6维几何速度空间的归一化概率分布函数，其中三维几何空间中的密度n定义如下：
\[n=\iiint{f(\vec{v},\vec{r},t)d\vec{v}}
\]
由于之前对积分乘积性质的证明可知，流体元的平均满足下面的规律：
\[<A+B>=<A>+<B>
\]
\[<A\cdot B>\neq <A>\cdot <B>
\]
只有当A，B相互独立时，上式才取等号。
参考：
[1]:J.Freidberg, "Ideal MHD"
