圆锥曲面

曲面方程

三维空间中的关于\(z\)轴旋转对称的圆锥面由一根与\(z\)轴共面但不平行的直线绕\(z\)轴旋转360度得到. 旋转的过程中直线与\(z\)轴的夹角不变, 用\(\phi\)表示.
曲面上的点的坐标可用参数方程表示:(即极坐标下的曲面方程)

\[\begin{cases} x = \rho * sin\phi * cos \alpha \\ y = \rho * sin\phi * sin \alpha \\ z = \rho * cos\phi \end{cases} \]

里面的自由参数有两个:\(\rho, \alpha\). 若\(\phi\)也是一个自由参数, 则得到的是一个体, 而非面了.

换成直角坐标系:

\[z = \sqrt{x^2 + y^2}\cot \phi \]

\(\phi\)不能为\(\frac {\pi}{2}\).

可视化

极坐标和直角坐标提供了两种不同的思路.

1. 直角坐标

phi = pi/6;
a = -pi:.05*pi:pi;
r = 0: .1: 2;
[A, R] = meshgrid(a, r);#xoy平面上的极坐标
X = R.* cos(A);
Y = R.* sin(A);
Z = cot(phi) * sqrt(X.^2 + Y.^2);
surf(X, Y, Z);

2. 极坐标

figure;
phi = pi/6;
rho = 0 :  .1 : 4;
a = -pi:.05*pi:pi;
[A, Rho] = meshgrid(A, rho);
X = Rho.*sin(phi).*cos(A);
Y = Rho.*sin(phi).*sin(A);
Z = Rho.*cos(phi);
surf(X, Y, Z);

两段代码画的是同一个锥面: