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【图论】广度优先搜索和深度优先搜索

2012-05-18 09:23 by 捣乱小子, ... 阅读, ... 评论, 收藏, 编辑

写在最前面的

两种图的遍历算法在其他图的算法当中都有应用,并且是基本的图论算法。

 

广度优先搜索

广度优先搜索(BFS),可以被形象的描述为“浅尝辄止”,具体一点就是每个顶点只访问它的邻接节点(如果它的邻接节点没有被访问)并且记录这个邻接节点,当访问完它的邻接节点之后就结束这个顶点的访问。

广度优先用到了“先进先出”队列,通过这个队列来存储第一次发现的节点,以便下一次的处理;而对于再次发现的节点,我们不予理会——不放入队列,因为再次发现的节点:

  1. 无非是已经处理完的了;
  2. 或者是存储在队列中尚未处理的。

image

《算法导轮》对两种搜索都采用了很聪明的做法,用白色WHITE来标志未发现的节点,用灰色GRAY来标志第一次被发现的节点,用黑色BLACK来标志第二次被发现的节点。

于是有了:

BFS(G,s)
	for each vertex v in V[G]
		status[v] = WHITE
		/******其他初始化******/
	status[s] = GRAY	//s是原点
	queue q
	入队(q,s);
	while q非空
		t = 出队(q);
		for each vertex v in Adj[t]	//与t邻接的点
			if status[v] = WHITE	//只对未访问的操作
				status[v] = GRAY	//标记为第一次访问
				/******其他操作******/
				入队(q,v)
		status[t] = BLACK	//此点已经处理完了

导轮还在上面伪代码的“其他”中加入了访问长度和父节点的操作。此举可以算出,从源点到其他顶点路径的最少步数和它的具体路径。

关于广度优先搜索的一个简单应用:

假如有问题,每个村庄之间都通过桥来联通,先给出村庄的图,问村庄A到村庄B最少要通过多少座桥?这个问题可以很容易的转化为上面的BFS问题。

深度优先搜索

深度优先搜索(DFS),可以被形象的描述为“打破沙锅问到底”,具体一点就是访问一个顶点之后,我继而访问它的下一个邻接的顶点,如此往复,直到当前顶点一被访问或者它不存在邻接的顶点。

同样,算法导论采用了“聪明的做法”,用三种颜色来标记三种状态。但这三种状态不同于广度优先搜索:

  1. WHITE 未访问顶点
  2. GRAY 一条深度搜索路径上的顶点,即被发现时
  3. BLACK 此顶点的邻接顶点被全部访问完之后——结束访问次顶点

image

DFS(G,s)
	for each vertex v in V(G)
		status[v] = WHITE
		/******其他初始化******/
	for each vertex v in V(G)
		if(status[v]==WHITE)
			DFS-VISIT(v)

DFS-VISIT(v)
	status[v] = GRAY
	for each vertex t in Adj(v)
		if status[t] = WHITE
			DFS-VISIT(t)
			/******其他操作******/
	status[v] = BLACK

通过给DFS搜索过程中给每一个顶点加时间戳,就可以实现拓扑排序了。实现拓扑排序需要:

对于每一个顶点,都有两个时间戳,分别这样来定义:

  1. 在一顶点刚被发现的时候,标记此顶点的第一个时间戳;
  2. 在结束此顶点的访问的时候,标记此顶点的第二个时间戳。时间戳可以用简单的123456来标记,只要能区分大小就行。
因此,你会发现,越早发现的点,他的第一个时间戳会越小,但是他的第二个时间戳会越大。 

总结

两个算法都是O(V+E),在用到的时候适当选取。在使用白灰黑标志的时候,突然明白了如何用深度优先搜索来判断有向图中是否存在环。

深度优先和广度优先各有各的优缺点:

 

  • 广优的话,占内存多,能找到最优解,必须遍历所有分枝. 广优的一个应用就是迪科斯彻单元最短路径算法.
  • 深优的话,占内存少,能找到最优解(一定条件下),但能很快找到接近解(优点),可能不必遍历所有分枝(也就是速度快), 深优的一个应用就是连连看游戏.

 

在更多的情况下,深优是比较好的方案。

 

本文完 2012-05-16

捣乱小子 http://www.daoluan.net