完全背包问题的理解

问题描述：

有N种物品，每种物品有无限量可选。每种物品对应的重量和价值分别为w[i]和p[i]。用容量为V的背包，任意选取。怎样使总价值最大。

一、笨方法，也是最容易理解的方式：

考虑dp[i][V]表示剩余容量为V，可选物品种类为i时的最优解。

那么第i件的选择方式有两种：

1、不选：dp[ i ][ v ] = dp[ i-1 ][ v ]　　和01背包一样。

2、选：选几件？k = 1 2 3 .. v/w[i]　　dp[ i ][ v ] = max{ dp[ i-1 ][ v-k*w[i] ] + k*p[ i ] }

综合起来，k取值从0 到 v/w[i]，就覆盖了上述两种情况。

 

代码出来了：

for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=V;j++)
        {
            for(k=0;k <= j/w[i-1];k++)
            {
                dp[i][j] = max_2(dp[i][j], dp[i-1][ j-k*w[i-1] ] + k*p[i-1]);
            }
        }
    }

二、开始优化了

1、把上面选择的方式更改一下：

不选的话，依旧是 dp[ i ][ v ] = dp[ i - 1 ][ v ]

选的话，可以用递归来实现：先选1件，再在剩下的i种物品中选。转化为另一个子问题。

dp[ i ][ v ] = dp[ i ][ v - w[i] ] + p[ i ]

代码如下：

for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=w[i-1];j<=V;j++)
        {
            dp[ i ][ j ] = max_2( dp[i-1][j],dp[ i ][ j-w[i-1] ] + p[i-1] );
        }
    }

 

2、考虑01背包中的空间优化，最终用第i次循环结束后的dp[v]表示dp[i][v] 。

为了保证 每次循环开始时，取到的dp[v] 就是 dp[i][v]，采用顺序计算。

int main()    //优化
{
    int i,j,k;
    int dp[6] = {0};
    int w[3] = {3,2,2};
    int p[3] = {5,10,20};
    int n = 3;
    int V = 5;

    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=w[i];j<=V;j++)
        {
            dp[j] = max_2( dp[j],dp[j-w[i]] + p[i]);
        }
    }
    return 0;
}