Logistic Regression--逻辑回归算法汇总**

转自别处 有很多与此类似的文章  也不知道谁是原创 因原文由少于错误 所以下文对此有修改并且做了适当的重点标记(横线见的内容没大明白 并且有些复杂,后面的运行流程依据前面的得出的算子进行分类)

 

初步接触

谓LR分类器(Logistic Regression Classifier),并没有什么神秘的。在分类的情形下,经过学习之后的LR分类器其实就是一组权值w0,w1,...,wm.
当测试样本集中的测试数据来到时,这一组权值按照与测试数据线性加和的方式,求出一个z值:

z = w0+w1*x1+w2*x2+...+wm*xm。 (其中x1,x2,...,xm是某样本数据的各个特征,维度为m)

之后按照sigmoid函数的形式求出:

σ(z) = 1 / (1+exp(z)) 。

由于sigmoid函数的定义域是(-INF, +INF),而值域为(0, 1)。因此最基本的LR分类器适合于对两类目标进行分类。

那么LR分类器的这一组权值w0,w1,...,wm是如何求得的呢?这就需要涉及到极大似然估计MLE和优化算法的概念了。

我们将sigmoid函数看成样本数据的概率密度函数,每一个样本点,都可以通过上述的公式①和计算出其概率密度

 

详细描述

1.逻辑模型

 

1.1逻辑回归模型

考虑具有p个独立变量的向量clip_image002,设条件概率clip_image004为根据观测量相对于某事件发生的概率。逻辑回归模型可表示为

clip_image006         (1.1)

上式右侧形式的函数称为称为逻辑函数。下图给出其函数图象形式。

clip_image008

 

其中。如果含有名义变量,则将其变为dummy变量一个具有k个取值的名义变量,将变为k-1个dummy变量。这样,有

(1.2)

  定义不发生事件的条件概率为

(1.3)

那么,事件发生与事件不发生的概率之比为

clip_image016                                       (1.4)

这个比值称为事件的发生比(the odds of experiencing an event),简称为odds。因为0<p<1,故odds>0。对odds取对数,即得到线性函数

      (1.5),

 

1.2极大似然函数

  假设有n个观测样本,观测值分别为clip_image020clip_image022为给定条件下得到yi=1(原文clip_image024)的概率。在同样条件下得到yi=0(clip_image026)的条件概率为clip_image028。于是,得到一个观测值的概率为

                                                (1.6)     -----此公式实际上是综合前两个等式得出,并无特别之处

 因为各项观测独立,所以它们的联合分布可以表示为各边际分布的乘积。

                                     

上式称为n个观测的似然函数。我们的目标是能够求出使这一似然函数的值最大的参数估计。于是,最大似然估计的关键就是求出参数clip_image034,使上式取得最大值。

对上述函数求对数

   (1.8)

上式称为对数似然函数。为了估计能使clip_image038取得最大的参数clip_image034[1]的值。

对此函数求导,得到p+1个似然方程。

           (1.9)

,j=1,2,..,p.-----p为独立向量个数

 上式称为似然方程。为了解上述非线性方程,应用牛顿-拉斐森(Newton-Raphson)方法进行迭代求解

1.3 牛顿-拉斐森迭代法

  对clip_image038[1]求二阶偏导数,即Hessian矩阵为

clip_image045

clip_image047                                          (1.10)

如果写成矩阵形式,以H表示Hessian矩阵,X表示

clip_image049                                                  (1.11)

                         (1.12)

clip_image053。再令clip_image055(注:前一个矩阵需转置),即似然方程的矩阵形式。

牛顿迭代法的形式为

clip_image057                                                 (1.13)

注意到上式中矩阵H为对称正定的,求解clip_image059为求解线性方程HX=U中的矩阵X。对H进行cholesky分解。

最大似然估计的渐近方差(asymptotic variance)和协方差(covariance)可以由信息矩阵(information matrix)的逆矩阵估计出来。而信息矩阵实际上是clip_image038[2]二阶导数的负值,表示为clip_image062。估计值的方差和协方差表示为clip_image064,也就是说,估计值clip_image066的方差为矩阵I的逆矩阵的对角线上的值,而估计值clip_image066[1]clip_image068的协方差(clip_image066[1]clip_image068的协方差等于clip_image062?不解。。。)为除了对角线以外的值。然而在多数情况,我们将使用估计值clip_image066[2]的标准方差,表示为

clip_image070,for j=0,1,2,…,p                        (1.14)

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.显著性检验

下面讨论在逻辑回归模型中自变量clip_image072是否与反应变量显著相关的显著性检验。零假设clip_image074clip_image076=0(表示自变量clip_image072[1]对事件发生可能性无影响作用)。如果零假设被拒绝,说明事件发生可能性依赖于clip_image072[2]的变化。

2.1 Wald test

对回归系数进行显著性检验时,通常使用Wald检验,其公式为

clip_image078 (2.1)

其中, clip_image080clip_image082的标准误差。这个单变量Wald统计量服从自由度等于1的clip_image084分布。

  如果需要检验假设clip_image074[1]clip_image086=0,计算统计量

clip_image088 (2.2)

其中,clip_image090为去掉clip_image092所在的行和列的估计值,相应地,clip_image094为去掉clip_image092[1]所在的行和列的标准误差。这里,Wald统计量服从自由度等于p的clip_image084[1]分布。如果将上式写成矩阵形式,有

clip_image097 (2.3)

矩阵Q是第一列为零的一常数矩阵。例如,如果检验clip_image099,则clip_image101

  然而当回归系数的绝对值很大时,这一系数的估计标准误就会膨胀,于是会导致Wald统计值变得很小,以致第二类错误的概率增加。也就是说,在实际上会导致应该拒绝零假设时却未能拒绝。所以当发现回归系数的绝对值很大时,就不再用Wald统计值来检验零假设,而应该使用似然比检验来代替。

2.2 似然比(Likelihood ratio test)检验

  在一个模型里面,含有变量clip_image103与不含变量clip_image103[1]的对数似然值乘以-2的结果之差,服从clip_image106分布。这一检验统计量称为似然比(likelihood ratio),用式子表示为

clip_image108 (2.4)

计算似然值采用公式(1.8)。

倘若需要检验假设clip_image074[2]clip_image086[1]=0,计算统计量

    (2.5)

式中,clip_image112表示clip_image114=0的观测值的个数,而clip_image116表示clip_image114[1]=1的观测值的个数,那么n就表示所有观测值的个数了。实际上,上式的右端的右半部分clip_image118表示只含有clip_image120的似然值。统计量G服从自由度为p的clip_image106[1]分布

2.3 Score检验

  在零假设clip_image074[3]clip_image076[1]=0下,设参数的估计值为clip_image122,即对应的clip_image076[2]=0。计算Score统计量的公式为

clip_image124          (2.6)

上式中,clip_image126表示在clip_image076[3]=0下的对数似然函数(1.9)的一价偏导数值,而clip_image128表示在clip_image076[4]=0下的对数似然函数(1.9)的二价偏导数值。Score统计量服从自由度等于1的clip_image084[2]分布。

2.4 模型拟合信息

  模型建立后,考虑和比较模型的拟合程度。有三个度量值可作为拟合的判断根据。

(1)-2LogLikelihood

    (2.7)

(2) Akaike信息准则(Akaike Information Criterion,简写为AIC)

clip_image132 (2.8)

 其中K为模型中自变量的数目,S为反应变量类别总数减1,对于逻辑回归有S=2-1=1。-2LogL的值域为0至clip_image134,其值越小说明拟合越好。当模型中的参数数量越大时,似然值也就越大,-2LogL就变小。因此,将2(K+S)加到AIC公式中以抵销参数数量产生的影响。在其它条件不变的情况下,较小的AIC值表示拟合模型较好。

(3)Schwarz准则

  这一指标根据自变量数目和观测数量对-2LogL值进行另外一种调整。SC指标的定义为

clip_image136 (2.9)

其中ln(n)是观测数量的自然对数。这一指标只能用于比较对同一数据所设的不同模型。在其它条件相同时,一个模型的AIC或SC值越小说明模型拟合越好。

 

3.回归系数解释

3.1发生比

odds=[p/(1-p)]clip_image138,即事件发生的概率与不发生的概率之比。而发生比率(odds ration),即clip_image140

(1)连续自变量。对于自变量clip_image072[3],每增加一个单位,odds ration为

clip_image143 (3.1)

(2)二分类自变量的发生比率。变量的取值只能为0或1,称为dummy variable。当clip_image072[4]取值为1,对于取值为0的发生比率为

clip_image145 (3.2)

 

亦即对应系数的幂。

(3)分类自变量的发生比率。

如果一个分类变量包括m个类别,需要建立的dummy variable的个数为m-1,所省略的那个类别称作参照类(reference category)。设dummy variable为clip_image072[5],其系数为clip_image076[5],对于参照类,其发生比率为clip_image148

3.2 逻辑回归系数的置信区间

  对于置信度1-clip_image150,参数clip_image076[6]的100%(1-clip_image150[1])的置信区间为

clip_image154 (3.3)

  上式中,clip_image156为与正态曲线下的临界Z值(critical value), clip_image158为系数估计clip_image160的标准误差,clip_image162clip_image164两值便分别是置信区间的下限和上限。当样本较大时,clip_image150[2]=0.05水平的系数clip_image160[1]的95%置信区间为

clip_image168 (3.4)

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4.变量选择

4.1前向选择(forward selection):在截距模型的基础上,将符合所定显著水平的自变量一次一个地加入模型。

  具体选择程序如下

(1) 常数(即截距)进入模型。

(2) 根据公式(2.6)计算待进入模型变量的Score检验值,并得到相应的P值。

(3) 找出最小的p值,如果此p值小于显著性水平clip_image170,则此变量进入模型。如果此变量是某个名义变量的单面化(dummy)变量,则此名义变量的其它单面化变理同时也进入模型。不然,表明没有变量可被选入模型。选择过程终止。

(4) 回到(2)继续下一次选择。

4.2 后向选择(backward selection):在模型包括所有候选变量的基础上,将不符合保留要求显著水平的自变量一次一个地删除。

具体选择程序如下

(1) 所有变量进入模型。

(2) 根据公式(2.1)计算所有变量的Wald检验值,并得到相应的p值。

(3) 找出其中最大的p值,如果此P值大于显著性水平clip_image172,则此变量被剔除。对于某个名义变量的单面化变量,其最小p值大于显著性水平clip_image172[1],则此名义变量的其它单面化变量也被删除。不然,表明没有变量可被剔除,选择过程终止。

(4) 回到(2)进行下一轮剔除。

4.3逐步回归(stepwise selection)

(1)基本思想:逐个引入自变量。每次引入对Y影响最显著的自变量,并对方程中的老变量逐个进行检验,把变为不显著的变量逐个从方程中剔除掉,最终得到的方程中既不漏掉对Y影响显著的变量,又不包含对Y影响不显著的变量。

(2)筛选的步骤:首先给出引入变量的显著性水平clip_image170[1]和剔除变量的显著性水平clip_image172[2],然后按下图筛选变量。

(3)逐步筛选法的基本步骤

逐步筛选变量的过程主要包括两个基本步骤:一是从不在方程中的变量考虑引入新变量的步骤;二是从回归方程中考虑剔除不显著变量的步骤。

假设有p个需要考虑引入回归方程的自变量.

① 设仅有截距项的最大似然估计值为clip_image175。对p个自变量每个分别计算Score检验值,

设有最小p值的变量为clip_image177,且有clip_image179,对于单面化(dummy)变量,也如此。若clip_image181,则此变量进入模型,不然停止。如果此变量是名义变量单面化(dummy)的变量,则此名义变量的其它单面化变量也进入模型。其中clip_image183为引入变量的显著性水平。

② 为了确定当变量clip_image177[1]在模型中时其它p-1个变量也是否重要,将clip_image186分别与clip_image177[2]进行拟合。对p-1个变量分别计算Score检验值,其p值设为clip_image188。设有最小p值的变量为clip_image190,且有clip_image192.若clip_image194,则进入下一步,不然停止。对于单面化变量,其方式如同上步。

③ 此步开始于模型中已含有变量clip_image177[3]clip_image190[1]。注意到有可能在变量clip_image190[2]被引入后,变量clip_image177[4]不再重要。本步包括向后删除。根据(2.1)计算变量clip_image177[5]clip_image190[3]的Wald检验值,和相应的p值。设clip_image196为具有最大p值的变量,即clip_image198=max(clip_image188[1]),clip_image201.如果此p值大于clip_image203,则此变量从模型中被删除,不然停止。对于名义变量,如果某个单面化变量的最小p值大于clip_image203[1],则此名义变量从模型中被删除。

④ 如此进行下去,每当向前选择一个变量进入后,都进行向后删除的检查。循环终止的条件是:所有的p个变量都进入模型中或者模型中的变量的p值小于clip_image172[3],不包含在模型中的变量的p值大于clip_image183[1]。或者某个变量进入模型后,在下一步又被删除,形成循环。

 

posted on 2012-07-18 14:06 as_ 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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