[转]支持向量机SVM总结

首先,对于支持向量机(SVM)的简单总结:

1. Maximum Margin Classifier

2. Lagrange Duality

3. Support Vector

4. Kernel

5. Outliers

6. Sequential Minimal Optimization

详细的理论总结可以参考另一篇博客:http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6444516.html

 

本文转载自:http://www.cnblogs.com/jerrylead

1 简介

支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。最开始接触SVM是去年暑假的时候,老师要求交《统计学习理论》的报告,那时去网上下了一份入门教程,里面讲的很通俗,当时只是大致了解了一些相关概念。这次斯坦福提供的学习材料,让我重新学习了一些SVM知识。我看很多正统的讲法都是从VC 维理论和结构风险最小原理出发,然后引出SVM什么的,还有些资料上来就讲分类超平面什么的。这份材料从前几节讲的logistic回归出发,引出了SVM,既揭示了模型间的联系,也让人觉得过渡更自然。

2 重新审视logistic回归

Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型,而这个模型是将特性的线性组合作为自变量,由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此,使用logistic函数(或称作sigmoid函数)将自变量映射到(0,1)上,映射后的值被认为是属于y=1的概率。

形式化表示就是

假设函数

clip_image001

其中x是n维特征向量,函数g就是logistic函数。

clip_image002的图像是

clip_image003

可以看到,将无穷映射到了(0,1)。

而假设函数就是特征属于y=1的概率。

clip_image004

当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时,只需求clip_image006,若大于0.5就是y=1的类,反之属于y=0类。

再审视一下clip_image006[1],发现clip_image006[2]只和clip_image008有关,clip_image008[1]>0,那么clip_image010,g(z)只不过是用来映射,真实的类别决定权还在clip_image008[2]。还有当clip_image012时,clip_image006[3]=1,反之clip_image006[4]=0。如果我们只从clip_image008[3]出发,希望模型达到的目标无非就是让训练数据中y=1的特征clip_image012[1],而是y=0的特征clip_image014。Logistic回归就是要学习得到clip_image016,使得正例的特征远大于0,负例的特征远小于0,强调在全部训练实例上达到这个目标。

图形化表示如下:

clip_image017

中间那条线是clip_image019,logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的,然而C我们是不太确定的,B还算能够确定。这样我们可以得出结论,我们更应该关心靠近中间分割线的点,让他们尽可能地远离中间线,而不是在所有点上达到最优。因为那样的话,要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点,一个考虑局部(不关心已经确定远离的点),一个考虑全局(已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离)。这是我的个人直观理解。

3 形式化表示

我们这次使用的结果标签是y=-1,y=1,替换在logistic回归中使用的y=0和y=1。同时将clip_image016[1]替换成w和b。以前的clip_image021,其中认为clip_image023。现在我们替换clip_image025为b,后面替换clip_image027clip_image029(即clip_image031)。这样,我们让clip_image033,进一步clip_image035。也就是说除了y由y=0变为y=-1,只是标记不同外,与logistic回归的形式化表示没区别。再明确下假设函数

clip_image037

上一节提到过我们只需考虑clip_image008[4]的正负问题,而不用关心g(z),因此我们这里将g(z)做一个简化,将其简单映射到y=-1和y=1上。映射关系如下:

clip_image039

4 函数间隔(functional margin)和几何间隔(geometric margin)

给定一个训练样本clip_image041,x是特征,y是结果标签。i表示第i个样本。我们定义函数间隔如下:

clip_image043

可想而知,当clip_image045时,在我们的g(z)定义中,clip_image047clip_image049的值实际上就是clip_image051。反之亦然。为了使函数间隔最大(更大的信心确定该例是正例还是反例),当clip_image045[1]时,clip_image053应该是个大正数,反之是个大负数。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。

继续考虑w和b,如果同时加大w和b,比如在clip_image055前面乘个系数比如2,那么所有点的函数间隔都会增大二倍,这个对求解问题来说不应该有影响,因为我们要求解的是clip_image057,同时扩大w和b对结果是无影响的。这样,我们为了限制w和b,可能需要加入归一化条件,毕竟求解的目标是确定唯一一个w和b,而不是多组线性相关的向量。这个归一化一会再考虑。

刚刚我们定义的函数间隔是针对某一个样本的,现在我们定义全局样本上的函数间隔

clip_image058

说白了就是在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔。

接下来定义几何间隔,先看图

clip_image059

假设我们有了B点所在的clip_image057[1]分割面。任何其他一点,比如A到该面的距离以clip_image061表示,假设B就是A在分割面上的投影。我们知道向量BA的方向是clip_image063(分割面的梯度),单位向量是clip_image065。A点是clip_image041[1],所以B点是x=clip_image067(利用初中的几何知识),带入clip_image057[2]得,

clip_image069

进一步得到

clip_image070

clip_image061[1]实际上就是点到平面距离。

再换种更加优雅的写法:

clip_image071

clip_image073时,不就是函数间隔吗?是的,前面提到的函数间隔归一化结果就是几何间隔。他们为什么会一样呢?因为函数间隔是我们定义的,在定义的时候就有几何间隔的色彩。同样,同时扩大w和b,w扩大几倍,clip_image075就扩大几倍,结果无影响。同样定义全局的几何间隔clip_image076

5 最优间隔分类器(optimal margin classifier)

回想前面我们提到我们的目标是寻找一个超平面,使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面,我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。形象的说,我们将上面的图看作是一张纸,我们要找一条折线,按照这条折线折叠后,离折线最近的点的间距比其他折线都要大。形式化表示为:

clip_image077

这里用clip_image075[1]=1规约w,使得clip_image079是几何间隔。

到此,我们已经将模型定义出来了。如果求得了w和b,那么来一个特征x,我们就能够分类了,称为最优间隔分类器。接下的问题就是如何求解w和b的问题了。

由于clip_image081不是凸函数,我们想先处理转化一下,考虑几何间隔和函数间隔的关系,clip_image083,我们改写一下上面的式子:

clip_image084

这时候其实我们求的最大值仍然是几何间隔,只不过此时的w不受clip_image081[1]的约束了。然而这个时候目标函数仍然不是凸函数,没法直接代入优化软件里计算。我们还要改写。前面说到同时扩大w和b对结果没有影响,但我们最后要求的仍然是w和b的确定值,不是他们的一组倍数值,因此,我们需要对clip_image086做一些限制,以保证我们解是唯一的。这里为了简便我们取clip_image088。这样的意义是将全局的函数间隔定义为1,也即是将离超平面最近的点的距离定义为clip_image090。由于求clip_image090[1]的最大值相当于求clip_image092的最小值,因此改写后结果为:

clip_image093

这下好了,只有线性约束了,而且是个典型的二次规划问题(目标函数是自变量的二次函数)。代入优化软件可解。

到这里发现,这个讲义虽然没有像其他讲义一样先画好图,画好分类超平面,在图上标示出间隔那么直观,但每一步推导有理有据,依靠思路的流畅性来推导出目标函数和约束。

接下来介绍的是手工求解的方法了,一种更优的求解方法。

6 拉格朗日对偶(Lagrange duality)

     先抛开上面的二次规划问题,先来看看存在等式约束的极值问题求法,比如下面的最优化问题:

    clip_image001[9]    

    目标函数是f(w),下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子,这里使用clip_image003[14]来表示算子,得到拉格朗日公式为

    clip_image004[6]    

    L是等式约束的个数。

    然后分别对w和clip_image003[15]求偏导,使得偏导数等于0,然后解出w和clip_image006[6]。至于为什么引入拉格朗日算子可以求出极值,原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束,dw的变化方向与f(w)的梯度垂直时才能获得极值,而且在极值处,f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合平行,因此他们之间存在线性关系。(参考《最优化与KKT条件》)

然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法,问题如下:

    clip_image007[6]    

    我们定义一般化的拉格朗日公式

clip_image008[6]

    这里的clip_image010[50]clip_image012[14]都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解,会出现问题,因为我们求解的是最小值,而这里的clip_image014[6]已经不是0了,我们可以将clip_image010[51]调整成很大的正值,来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况,我们定义下面的函数:

    clip_image015[6]

    这里的P代表primal。假设clip_image017[6]或者clip_image019[6],那么我们总是可以调整clip_image010[52]clip_image012[15]来使得clip_image021[10]有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时,clip_image021[11]为f(w)。这个函数的精妙之处在于clip_image023[6],而且求极大值。

    因此我们可以写作

    clip_image024[6]

    这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求clip_image026[10]了。    

    clip_image027[6]

    我们使用clip_image029[6]来表示clip_image026[11]。如果直接求解,首先面对的是两个参数,而clip_image010[53]也是不等式约束,然后再在w上求最小值。这个过程不容易做,那么怎么办呢?

    我们先考虑另外一个问题clip_image030[6]

    D的意思是对偶,clip_image031[10]将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值,将clip_image033[6]clip_image003[16]看作是固定值。之后在clip_image031[11]求最大值的话:

clip_image034[6]

    这个问题是原问题的对偶问题,相对于原问题只是更换了min和max的顺序,而一般更换顺序的结果是Max Min(X) <= MinMax(X)。然而在这里两者相等。用clip_image036[6]来表示对偶问题如下:

    clip_image037[6]

    下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数,h是仿射的(affine,clip_image038[6])。并且存在w使得对于所有的i,clip_image040[10]。在这种假设下,一定存在clip_image042[14]使得clip_image044[14]是原问题的解,clip_image046[6]是对偶问题的解。还有clip_image047[6]另外,clip_image042[15]满足库恩-塔克条件(Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition),该条件如下:

    clip_image048[6]

    所以如果clip_image042[16]满足了库恩-塔克条件,那么他们就是原问题和对偶问题的解。让我们再次审视公式(5),这个条件称作是KKT dual complementarity条件。这个条件隐含了如果clip_image050[6],那么clip_image052[10]。也就是说,clip_image052[11]时,w处于可行域的边界上,这时才是起作用的约束。而其他位于可行域内部(clip_image054[6]的)点都是不起作用的约束,其clip_image056[6]。这个KKT双重补足条件会用来解释支持向量和SMO的收敛测试。

    这部分内容思路比较凌乱,还需要先研究下《非线性规划》中的约束极值问题,再回头看看。KKT的总体思想是将极值会在可行域边界上取得,也就是不等式为0或等式约束里取得,而最优下降方向一般是这些等式的线性组合,其中每个元素要么是不等式为0的约束,要么是等式约束。对于在可行域边界内的点,对最优解不起作用,因此前面的系数为0。

7 最优间隔分类器(optimal margin classifier)

    重新回到SVM的优化问题:

    clip_image057[6]

    我们将约束条件改写为:

    clip_image058[6]

    从KKT条件得知只有函数间隔是1(离超平面最近的点)的线性约束式前面的系数clip_image060[14],也就是说这些约束式clip_image062[6],对于其他的不在线上的点(clip_image064[6]),极值不会在他们所在的范围内取得,因此前面的系数clip_image066[14].注意每一个约束式实际就是一个训练样本。

    看下面的图:

    clip_image067[6]

    实线是最大间隔超平面,假设×号的是正例,圆圈的是负例。在虚线上的点就是函数间隔是1的点,那么他们前面的系数clip_image060[15],其他点都是clip_image066[15]。这三个点称作支持向量。构造拉格朗日函数如下:    

    clip_image068[6]

    注意到这里只有clip_image010[54]没有clip_image012[16]是因为原问题中没有等式约束,只有不等式约束。

    下面我们按照对偶问题的求解步骤来一步步进行,

    clip_image069[10]

    首先求解clip_image070[10]的最小值,对于固定的clip_image010[55]clip_image070[11]的最小值只与w和b有关。对w和b分别求偏导数。

    clip_image071[6]

    clip_image072[6]

    并得到

    clip_image073[6]

    将上式带回到拉格朗日函数中得到,此时得到的是该函数的最小值(目标函数是凸函数)

    代入后,化简过程如下:

     

  最后得到

clip_image074[6]

     由于最后一项是0,因此简化为

    clip_image075[6]

    这里我们将向量内积clip_image076[6]表示为clip_image077[6]

    此时的拉格朗日函数只包含了变量clip_image010[56]。然而我们求出了clip_image010[57]才能得到w和b。

    接着是极大化的过程clip_image069[11]

clip_image078[6]

    前面提到过对偶问题和原问题满足的几个条件,首先由于目标函数和线性约束都是凸函数,而且这里不存在等式约束h。存在w使得对于所有的i,clip_image040[11]。因此,一定存在clip_image080[6]使得clip_image044[15]是原问题的解,clip_image082[10]是对偶问题的解。在这里,求clip_image010[58]就是求clip_image082[11]了。

    如果求出了clip_image010[59],根据clip_image083[6]即可求出w(也是clip_image044[16],原问题的解)。然后

    clip_image084[6]

    即可求出b。即离超平面最近的正的函数间隔要等于离超平面最近的负的函数间隔。

    关于上面的对偶问题如何求解,将留给下一篇中的SMO算法来阐明。

    这里考虑另外一个问题,由于前面求解中得到

    clip_image086[6]

    我们通篇考虑问题的出发点是clip_image088[6],根据求解得到的clip_image010[60],我们代入前式得到

    clip_image089[6]

    也就是说,以前新来的要分类的样本首先根据w和b做一次线性运算,然后看求的结果是大于0还是小于0,来判断正例还是负例。现在有了clip_image010[61],我们不需要求出w,只需将新来的样本和训练数据中的所有样本做内积和即可。那有人会说,与前面所有的样本都做运算是不是太耗时了?其实不然,我们从KKT条件中得到,只有支持向量的clip_image060[16],其他情况clip_image066[16]。因此,我们只需求新来的样本和支持向量的内积,然后运算即可。这种写法为下面要提到的核函数(kernel)做了很好的铺垫。这是上篇,先写这么多了。

7 核函数(Kernels)

考虑我们最初在“线性回归”中提出的问题,特征是房子的面积x,这里的x是实数,结果y是房子的价格。假设我们从样本点的分布中看到x和y符合3次曲线,那么我们希望使用x的三次多项式来逼近这些样本点。那么首先需要将特征x扩展到三维clip_image002[6],然后寻找特征和结果之间的模型。我们将这种特征变换称作特征映射(feature mapping)。映射函数称作clip_image004[10],在这个例子中

clip_image006[6]

我们希望将得到的特征映射后的特征应用于SVM分类,而不是最初的特征。这样,我们需要将前面clip_image008[4]公式中的内积从clip_image010[16],映射到clip_image012[42]

至于为什么需要映射后的特征而不是最初的特征来参与计算,上面提到的(为了更好地拟合)是其中一个原因,另外的一个重要原因是样例可能存在线性不可分的情况,而将特征映射到高维空间后,往往就可分了。(在《数据挖掘导论》Pang-Ning Tan等人著的《支持向量机》那一章有个很好的例子说明)

将核函数形式化定义,如果原始特征内积是clip_image014[4],映射后为clip_image016[6],那么定义核函数(Kernel)为

clip_image018[8]

到这里,我们可以得出结论,如果要实现该节开头的效果,只需先计算clip_image020[10],然后计算clip_image022[10]即可,然而这种计算方式是非常低效的。比如最初的特征是n维的,我们将其映射到clip_image024[6]维,然后再计算,这样需要clip_image026[6]的时间。那么我们能不能想办法减少计算时间呢?

先看一个例子,假设x和z都是n维的,

clip_image028[4]

展开后,得

clip_image030[4]

这个时候发现我们可以只计算原始特征x和z内积的平方(时间复杂度是O(n)),就等价与计算映射后特征的内积。也就是说我们不需要花clip_image026[7]时间了。

现在看一下映射函数(n=3时),根据上面的公式,得到

clip_image031[4]

也就是说核函数clip_image033[4]只能在选择这样的clip_image004[11]作为映射函数时才能够等价于映射后特征的内积。

再看一个核函数

clip_image034[4]

对应的映射函数(n=3时)是

clip_image035[4]

更一般地,核函数clip_image037[4]对应的映射后特征维度为clip_image039[4]。(求解方法参见http://zhidao.baidu.com/question/16706714.html)。

由于计算的是内积,我们可以想到IR中的余弦相似度,如果x和z向量夹角越小,那么核函数值越大,反之,越小。因此,核函数值是clip_image020[11]clip_image041[4]的相似度。

再看另外一个核函数

clip_image042[6]

这时,如果x和z很相近(clip_image044[6]),那么核函数值为1,如果x和z相差很大(clip_image046[6]),那么核函数值约等于0。由于这个函数类似于高斯分布,因此称为高斯核函数,也叫做径向基函数(Radial Basis Function 简称RBF)。它能够把原始特征映射到无穷维。

既然高斯核函数能够比较x和z的相似度,并映射到0到1,回想logistic回归,sigmoid函数可以,因此还有sigmoid核函数等等。

下面有张图说明在低维线性不可分时,映射到高维后就可分了,使用高斯核函数。

clip_image048[6]

来自Eric Xing的slides

注意,使用核函数后,怎么分类新来的样本呢?线性的时候我们使用SVM学习出w和b,新来样本x的话,我们使用clip_image050[8]来判断,如果值大于等于1,那么是正类,小于等于是负类。在两者之间,认为无法确定。如果使用了核函数后,clip_image050[9]就变成了clip_image052[6],是否先要找到clip_image054[8],然后再预测?答案肯定不是了,找clip_image054[9]很麻烦,回想我们之前说过的

clip_image055[4]

只需将clip_image057[4]替换成clip_image059[6],然后值的判断同上。

8 核函数有效性判定

问题:给定一个函数K,我们能否使用K来替代计算clip_image022[11],也就说,是否能够找出一个clip_image061[12],使得对于所有的x和z,都有clip_image018[9]

比如给出了clip_image063[8],是否能够认为K是一个有效的核函数。

下面来解决这个问题,给定m个训练样本clip_image065[6],每一个clip_image067[8]对应一个特征向量。那么,我们可以将任意两个clip_image067[9]clip_image069[6]带入K中,计算得到clip_image071[6]。I可以从1到m,j可以从1到m,这样可以计算出m*m的核函数矩阵(Kernel Matrix)。为了方便,我们将核函数矩阵和clip_image073[10]都使用K来表示。

如果假设K是有效地核函数,那么根据核函数定义

clip_image075[6]

可见,矩阵K应该是个对称阵。让我们得出一个更强的结论,首先使用符号clip_image077[6]来表示映射函数clip_image020[12]的第k维属性值。那么对于任意向量z,得

clip_image078[6]

最后一步和前面计算clip_image063[9]时类似。从这个公式我们可以看出,如果K是个有效的核函数(即clip_image073[11]clip_image080[6]等价),那么,在训练集上得到的核函数矩阵K应该是半正定的(clip_image082[6]

这样我们得到一个核函数的必要条件:

K是有效的核函数 ==> 核函数矩阵K是对称半正定的。

可幸的是,这个条件也是充分的,由Mercer定理来表达。

Mercer定理:

如果函数K是clip_image084[26]上的映射(也就是从两个n维向量映射到实数域)。那么如果K是一个有效核函数(也称为Mercer核函数),那么当且仅当对于训练样例clip_image065[7],其相应的核函数矩阵是对称半正定的。

Mercer定理表明为了证明K是有效的核函数,那么我们不用去寻找clip_image061[13],而只需要在训练集上求出各个clip_image086[6],然后判断矩阵K是否是半正定(使用左上角主子式大于等于零等方法)即可。

许多其他的教科书在Mercer定理证明过程中使用了clip_image088[16]范数和再生希尔伯特空间等概念,但在特征是n维的情况下,这里给出的证明是等价的。

核函数不仅仅用在SVM上,但凡在一个模型后算法中出现了clip_image090[4],我们都可以常使用clip_image073[12]去替换,这可能能够很好地改善我们的算法。

9 规则化和不可分情况处理(Regularization and the non-separable case)

我们之前讨论的情况都是建立在样例线性可分的假设上,当样例线性不可分时,我们可以尝试使用核函数来将特征映射到高维,这样很可能就可分了。然而,映射后我们也不能100%保证可分。那怎么办呢,我们需要将模型进行调整,以保证在不可分的情况下,也能够尽可能地找出分隔超平面。

看下面两张图:

clip_image001

可以看到一个离群点(可能是噪声)可以造成超平面的移动,间隔缩小,可见以前的模型对噪声非常敏感。再有甚者,如果离群点在另外一个类中,那么这时候就是线性不可分了。

这时候我们应该允许一些点游离并在在模型中违背限制条件(函数间隔大于1)。我们设计得到新的模型如下(也称软间隔):

clip_image002

引入非负参数clip_image004后(称为松弛变量),就允许某些样本点的函数间隔小于1,即在最大间隔区间里面,或者函数间隔是负数,即样本点在对方的区域中。而放松限制条件后,我们需要重新调整目标函数,以对离群点进行处罚,目标函数后面加上的clip_image006就表示离群点越多,目标函数值越大,而我们要求的是尽可能小的目标函数值。这里的C是离群点的权重,C越大表明离群点对目标函数影响越大,也就是越不希望看到离群点。我们看到,目标函数控制了离群点的数目和程度,使大部分样本点仍然遵守限制条件。

模型修改后,拉格朗日公式也要修改如下:

clip_image008

这里的clip_image010clip_image012都是拉格朗日乘子,回想我们在拉格朗日对偶中提到的求法,先写出拉格朗日公式(如上),然后将其看作是变量w和b的函数,分别对其求偏导,得到w和b的表达式。然后代入公式中,求带入后公式的极大值。整个推导过程类似以前的模型,这里只写出最后结果如下:

clip_image013

此时,我们发现没有了参数clip_image004[1],与之前模型唯一不同在于clip_image010[1]又多了clip_image015的限制条件。需要提醒的是,b的求值公式也发生了改变,改变结果在SMO算法里面介绍。先看看KKT条件的变化:

clip_image016

第一个式子表明在两条间隔线外的样本点前面的系数为0,离群样本点前面的系数为C,而支持向量(也就是在超平面两边的最大间隔线上)的样本点前面系数在(0,C)上。通过KKT条件可知,某些在最大间隔线上的样本点也不是支持向量,相反也可能是离群点。

10 坐标上升法(Coordinate ascent)

在最后讨论clip_image018的求解之前,我们先看看坐标上升法的基本原理。假设要求解下面的优化问题:

clip_image019

这里W是clip_image021向量的函数。之前我们在回归中提到过两种求最优解的方法,一种是梯度下降法,另外一种是牛顿法。现在我们再讲一种方法称为坐标上升法(求解最小值问题时,称作坐标下降法,原理一样)。

方法过程:

clip_image022

最里面语句的意思是固定除clip_image010[2]之外的所有clip_image024,这时W可看作只是关于clip_image010[3]的函数,那么直接对clip_image010[4]求导优化即可。这里我们进行最大化求导的顺序i是从1到m,可以通过更改优化顺序来使W能够更快地增加并收敛。如果W在内循环中能够很快地达到最优,那么坐标上升法会是一个很高效的求极值方法。

下面通过一张图来展示:

clip_image025

椭圆代表了二次函数的各个等高线,变量数为2,起始坐标是(2,-2)。图中的直线式迭代优化的路径,可以看到每一步都会向最优值前进一步,而且前进路线是平行于坐标轴的,因为每一步只优化一个变量。

11 SMO优化算法(Sequential minimal optimization)

SMO算法由Microsoft Research的John C. Platt在1998年提出,并成为最快的二次规划优化算法,特别针对线性SVM和数据稀疏时性能更优。关于SMO最好的资料就是他本人写的《Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines》了。

我拜读了一下,下面先说讲义上对此方法的总结。

首先回到我们前面一直悬而未解的问题,对偶函数最后的优化问题:

clip_image001

要解决的是在参数clip_image003上求最大值W的问题,至于clip_image005clip_image007都是已知数。C由我们预先设定,也是已知数。

按照坐标上升的思路,我们首先固定除clip_image009以外的所有参数,然后在clip_image009[1]上求极值。等一下,这个思路有问题,因为如果固定clip_image009[2]以外的所有参数,那么clip_image009[3]将不再是变量(可以由其他值推出),因为问题中规定了

clip_image010

因此,我们需要一次选取两个参数做优化,比如clip_image009[4]clip_image012,此时clip_image012[1]可以由clip_image009[5]和其他参数表示出来。这样回带到W中,W就只是关于clip_image009[6]的函数了,可解。

这样,SMO的主要步骤如下:

clip_image013

意思是,第一步选取一对clip_image015clip_image017,选取方法使用启发式方法(后面讲)。第二步,固定除clip_image015[1]clip_image017[1]之外的其他参数,确定W极值条件下的clip_image015[2]clip_image017[2]clip_image015[3]表示。

SMO之所以高效就是因为在固定其他参数后,对一个参数优化过程很高效。

下面讨论具体方法:

假设我们选取了初始值clip_image003[1]满足了问题中的约束条件。接下来,我们固定clip_image019,这样W就是clip_image009[7]clip_image012[2]的函数。并且clip_image009[8]clip_image012[3]满足条件:

clip_image020

由于clip_image019[1]都是已知固定值,因此为了方面,可将等式右边标记成实数值clip_image022

clip_image023

clip_image025clip_image027异号时,也就是一个为1,一个为-1时,他们可以表示成一条直线,斜率为1。如下图:

image

横轴是clip_image009[9],纵轴是clip_image012[4]clip_image009[10]clip_image012[5]既要在矩形方框内,也要在直线上,因此

clip_image044clip_image046

同理,当clip_image025[1]clip_image027[1]同号时,

clip_image048clip_image050

然后我们打算将clip_image009[11]clip_image012[6]表示:

clip_image051

然后反代入W中,得

clip_image052

展开后W可以表示成clip_image054。其中a,b,c是固定值。这样,通过对W进行求导可以得到clip_image012[7],然而要保证clip_image012[8]满足clip_image056,我们使用clip_image058表示求导求出来的clip_image012[9],然而最后的clip_image012[10],要根据下面情况得到:

clip_image059

这样得到clip_image061后,我们可以得到clip_image009[12]的新值clip_image063

下面进入Platt的文章,来找到启发式搜索的方法和求b值的公式。

这边文章使用的符号表示有点不太一样,不过实质是一样的,先来熟悉一下文章中符号的表示。

文章中定义特征到结果的输出函数为

clip_image064

与我们之前的clip_image066实质是一致的。

原始的优化问题为:

clip_image067

求导得到:

clip_image068

经过对偶后为:

clip_image069

s.t. clip_image070

clip_image071

这里与W函数是一样的,只是符号求反后,变成求最小值了。clip_image073clip_image075是一样的,都表示第i个样本的输出结果(1或-1)。

经过加入松弛变量clip_image077后,模型修改为:

clip_image078

clip_image079

由公式(7)代入(1)中可知,

clip_image080

这个过程和之前对偶过程一样。

重新整理我们要求的问题为:

clip_image081

与之对应的KKT条件为:

clip_image082

这个KKT条件说明,在两条间隔线外面的点,对应前面的系数clip_image084为0,在两条间隔线里面的对应clip_image084[1]为C,在两条间隔线上的对应的系数clip_image084[2]在0和C之间。

将我们之前得到L和H重新拿过来:

clip_image085

clip_image086

之前我们将问题进行到这里,然后说将clip_image009[13]clip_image012[11]表示后代入W中,这里将代入clip_image088中,得

clip_image090

其中

clip_image091

这里的clip_image093clip_image095代表某次迭代前的原始值,因此是常数,而clip_image009[14]clip_image012[12]是变量,待求。公式(24)中的最后一项是常数。

由于clip_image009[15]clip_image012[13]满足以下公式

clip_image097

因为clip_image099的值是固定值,在迭代前后不会变。

那么用s表示clip_image101,上式两边乘以clip_image103时,变为:

clip_image104

其中

clip_image106

代入(24)中,得

clip_image107

这时候只有clip_image012[14]是变量了,求导

clip_image109

如果clip_image088[1]的二阶导数大于0(凹函数),那么一阶导数为0时,就是极小值了。

假设其二阶导数为0(一般成立),那么上式化简为:

clip_image110

将w和v代入后,继续化简推导,得(推导了六七行推出来了)

clip_image112

我们使用clip_image114来表示:

clip_image115

通常情况下目标函数是正定的,也就是说,能够在直线约束方向上求得最小值,并且clip_image117

那么我们在(30)两边都除以clip_image114[1]可以得到

clip_image118

这里我们使用clip_image061[1]表示优化后的值,clip_image012[15]是迭代前的值,clip_image120

与之前提到的一样clip_image061[2]不是最终迭代后的值,需要进行约束:

clip_image121

那么

clip_image122

在特殊情况下,clip_image114[2]可能不为正,如果核函数K不满足Mercer定理,那么目标函数可能变得非正定,clip_image114[3]可能出现负值。即使K是有效的核函数,如果训练样本中出现相同的特征x,那么clip_image114[4]仍有可能为0。SMO算法在clip_image114[5]不为正值的情况下仍有效。为保证有效性,我们可以推导出clip_image114[6]就是clip_image088[2]的二阶导数,clip_image124clip_image088[3]没有极小值,最小值在边缘处取到(类比clip_image126),clip_image128时更是单调函数了,最小值也在边缘处取得,而clip_image012[16]的边缘就是L和H。这样将clip_image130clip_image132分别代入clip_image088[4]中即可求得clip_image088[5]的最小值,相应的clip_image130[1]还是clip_image132[1]也可以知道了。具体计算公式如下:

clip_image134

至此,迭代关系式出了b的推导式以外,都已经推出。

b每一步都要更新,因为前面的KKT条件指出了clip_image084[3]clip_image136的关系,而clip_image138和b有关,在每一步计算出clip_image084[4]后,根据KKT条件来调整b。

b的更新有几种情况:

clip_image140

来自罗林开的ppt

这里的界内指clip_image142,界上就是等于0或者C了。

前面两个的公式推导可以根据clip_image144

和对于clip_image142[1]clip_image146的KKT条件推出。

这样全部参数的更新公式都已经介绍完毕,附加一点,如果使用的是线性核函数,我们就可以继续使用w了,这样不用扫描整个样本库来作内积了。

w值的更新方法为:

clip_image147

根据前面的

clip_image068[1]

公式推导出。

12 SMO中拉格朗日乘子的启发式选择方法

终于到了最后一个问题了,所谓的启发式选择方法主要思想是每次选择拉格朗日乘子的时候,优先选择样本前面系数clip_image142[2]clip_image084[5]作优化(论文中称为无界样例),因为在界上(clip_image084[6]为0或C)的样例对应的系数clip_image084[7]一般不会更改。

这条启发式搜索方法是选择第一个拉格朗日乘子用的,比如前面的clip_image012[17]。那么这样选择的话,是否最后会收敛。可幸的是Osuna定理告诉我们只要选择出来的两个clip_image084[8]中有一个违背了KKT条件,那么目标函数在一步迭代后值会减小。违背KKT条件不代表clip_image142[3],在界上也有可能会违背。是的,因此在给定初始值clip_image084[9]=0后,先对所有样例进行循环,循环中碰到违背KKT条件的(不管界上还是界内)都进行迭代更新。等这轮过后,如果没有收敛,第二轮就只针对clip_image142[4]的样例进行迭代更新。

在第一个乘子选择后,第二个乘子也使用启发式方法选择,第二个乘子的迭代步长大致正比于clip_image149,选择第二个乘子能够最大化clip_image149[1]。即当clip_image151为正时选择负的绝对值最大的clip_image153,反之,选择正值最大的clip_image153[1]

最后的收敛条件是在界内(clip_image142[5])的样例都能够遵循KKT条件,且其对应的clip_image084[10]只在极小的范围内变动。

至于如何写具体的程序,请参考John C. Platt在论文中给出的伪代码。

13 总结

这份SVM的讲义重点概括了SVM的基本概念和基本推导,中规中矩却又让人醍醐灌顶。起初让我最头疼的是拉格朗日对偶和SMO,后来逐渐明白拉格朗日对偶的重要作用是将w的计算提前并消除w,使得优化函数变为拉格朗日乘子的单一参数优化问题。而SMO里面迭代公式的推导也着实让我花费了不少时间。

对比这么复杂的推导过程,SVM的思想确实那么简单。它不再像logistic回归一样企图去拟合样本点(中间加了一层sigmoid函数变换),而是就在样本中去找分隔线,为了评判哪条分界线更好,引入了几何间隔最大化的目标。

之后所有的推导都是去解决目标函数的最优化上了。在解决最优化的过程中,发现了w可以由特征向量内积来表示,进而发现了核函数,仅需要调整核函数就可以将特征进行低维到高维的变换,在低维上进行计算,实质结果表现在高维上。由于并不是所有的样本都可分,为了保证SVM的通用性,进行了软间隔的处理,导致的结果就是将优化问题变得更加复杂,然而惊奇的是松弛变量没有出现在最后的目标函数中。最后的优化求解问题,也被拉格朗日对偶和SMO算法化解,使SVM趋向于完美。

另外,其他很多议题如SVM背后的学习理论、参数选择问题、二值分类到多值分类等等还没有涉及到,以后有时间再学吧。其实朴素贝叶斯在分类二值分类问题时,如果使用对数比,那么也算作线性分类器。

 

posted @ 2017-02-26 13:36  笨兔勿应  阅读(4034)  评论(0编辑  收藏  举报