51nod 1616：最小集合

51nod 1616 最小集合

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1616

题目大意：若$a$和$b$均在集合$S$中，则$gcd(a,b)$也在$S$中。现给出$S$中$n$个元素，问$|S|$的最小值.

数论

由题意得，若$S' \subseteq S$，则$gcd(S') \in S$.

定义$f(k)$为这$n$个数中能被$k$整除的数的个数.

对任意一个数$x$，设$S$中$x$的倍数构成的集合为$D$，令$d=gcd(D)$，则显然有$x|d$且$f(x)=f(d)=|D|$.

若存在$d_1<d_2$，使得$x|d_1$，$x|d_2$且$f(d_1)=f(d_2)=f(x)$，那么$d_1$一定不为集合$D$的最大公因数.

故对于$x$的集合$D$，其最大公因数为$max\{d_i:x|d_i,f(x)=f(d_i)\}$.

因为$x_i$的集合$D_i$包含了$S$的所有子集，故所有$gcd(D_i)$构成的集合即$S$.

由于调和级数$lim_{n->\infty} \sum_{i=i}^n \frac{n}{i}=lnn+c$，故时间复杂度为$O(nlgn)$.

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int n,ans,t,vis[1000005],f[1000005],tmp[1000005];
int main(void){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;++i){cin>>t;vis[t]=1;}
    for(int i=1;i<=1000000;++i)
        for(int j=1;i*j<=1000000;++j)
            if(vis[i*j])f[i]++;
    for(int i=1,j;i<=1000000;++i)if(f[i]){
        for(j=1;i*j<=1000000;++j)
            if(f[i]==f[i*j])t=i*j;
        tmp[t]=1;
    }
    for(int i=1;i<=1000000;++i)
        if(tmp[i])ans++;
    cout<<ans;
}