原码 反码 补码 概念 原理 详解
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原码 反码 补码 概念 原理 详解
测试代码
System.out.println(Integer.toBinaryString(Integer.MAX_VALUE)); //1111111111111111111111111111111
System.out.println(Integer.toBinaryString(Integer.MAX_VALUE).length()); //31，最前面的符号位0被省略了
System.out.println(Integer.toBinaryString(Integer.MIN_VALUE)); //10000000000000000000000000000000
System.out.println(Integer.toBinaryString(Integer.MIN_VALUE).length()); //32，这里都是用补码表示的
System.out.println(Integer.toBinaryString(1));//1，前面省略了31个0
System.out.println(Integer.toBinaryString(-1)); //11111111111111111111111111111111
System.out.println(Integer.toBinaryString(-1).length()); //32
System.out.println((Integer.MAX_VALUE + 1) == Integer.MIN_VALUE);//true
System.out.println((Integer.MIN_VALUE + (-1) == Integer.MAX_VALUE));//true
教科书式定义
软考指定资料中关于原码、反码、补码和移码的定义如下(n是机器字长)：
虽然反人类，但是定义的的确很精确、精炼啊！
简单入门
PS：正数的原、反、补码都一样
0的原码跟反码都有两个，因为这里0被分为+0和-0；0的补码是唯一的，如果机器字长为8，那么[0]补=0000_0000
原码
如果机器字长为n，那么一个数的原码就是用一个n位的二进制数，其中最高位为符号位：正数为0，负数为1。剩下的n-1位表示该数的绝对值。
X=+101011 , [X]原= 0010_1011
X=-101011 , [X]原= 1010_1011
位数不够的用0补全。
反码
知道了原码，那么你只需要具备区分0跟1的能力，就可以轻松求出反码，为什么呢？因为反码就是在原码的基础上，符号位不变其他位按位取反(就是0变1，1变0)就可以了。
X=+101011 , [X]原= 0010_1011 ，[X]反=0010_1011
X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100
补码
补码也非常的简单，就是在反码的基础上按照正常的加法运算加1。
X=+101011 , [X]原= 0010_1011 ，[X]反=0010_1011，[X]补=0010_1011
X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100，[X]补=1101_0101
负数的补码这么记更简单：符号位不变，其他的从低位开始，直到遇见第一个1之前，什么都不变；遇见第一个1后保留这个1，以后按位取反。
[-7]原= 1 000011_1
[-7]补= 1 111100_1
移码
移码最简单了，不管正负数，只要将其补码的符号位取反即可。
X=+101011 , [X]原= 0010_1011 ，[X]反=0010_1011，[X]补=0010_1011，[X]移=1010_1011
X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100，[X]补=1101_0101，[X]移=0101_0101
一些基本概念
机器数和符号位
在学习原码、反码和补码之前，需要先了解机器数和真值的概念。
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。
机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0、负数为1。
比如，十进制中的数 +3 ，如果计算机字长为8位，转换成二进制就是0000_0011。如果是 -3 ，就是1000_0011(原码) 。那么，这里的 0000_0011 和 1000_0011(原码) 就是机器数。
真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 1000_0011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3，而不是形式值131。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000_0001的真值 = +000_0001 = +1，1000_0001的真值 = –000_0001 = –1
编码方式
对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储，原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。
- 原码的表示方法是：
符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。 - 反码的表示方法是：
正数的反码就是其本身；负数的反码是在其原码的基础上，【符号位不变】，其余各个位【取反】。 - 补码的表示方法是：
正数的补码就是其本身；负数的补码是在其原码的基础上，【符号位不变】，其余各位取反，最后+1，即【取反+1】。
以上概念其实很好理解，就是一些规则而已，但问题是，为什么要制定这些规则呢？
为何要使用原码、反码和补码
现在我们知道了，计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为三种编码方式的结果都相同，所以不需要过多解释。但是对于负数，其原码、反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢?
首先，希望能用符号位代替减法...
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位选择对真值区域的加减。但是对于计算机，加减乘数是最最最最基础的运算，要设计的尽量简单，计算机辨别"符号位"会让计算机的基础电路设计变得复杂，于是，人们想出了将符号位也参与运算的方法。
我们知道，根据运算法则，减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1)，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
但是，用原码计算时有一些问题...
于是人们就开始探索将符号位参与运算并且只保留加法的方法。
首先来看原码：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [1000_0010]原 = -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算，显然对于减法来说结果是不正确的。
这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
PS：包括Java、C在内的很多编程语言，在设计整型时，其定义都是：
8/16/32/64-bit signed two's complement(补码) integer
于是，反码出现了，但遇到0时还有一点问题...
为了解决原码做减法的问题，出现了反码：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原= [0000_0001]反 + [1111_1110]反 = [1111_1111]反
= [1000_0000]原 = -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在0这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000_0000]原和[1000_0000]原两个编码表示0。
补码解决了遗留的这个问题..
于是补码出现了，它解决了0的符号以及两个编码的问题：
1-1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [0000_0001]补 + [1111_1111]补 = [0000_0000]补
=[0000_0000]原 = 0
这样0用[0000_0000]表示， 而以前出现问题的-0则不存在了。
并且，还有意外收获..
除此之外，还可以用 [1000_0000]补 表示-128：
(-1) + (-127) = [1000_0001]原 + [1111_1111]原 = [1111_1111]补 + [1000_0001]补 = [1000_0000]补
-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中， [1000_0000]补 就代表-128。
注意，
-128并没有原码和反码表示。
所以，使用补码不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数，这就是为什么8位二进制使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127]，而使用补码表示的范围为 [-128, 127] 的原因。
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型可以表示范围是 [-2^31, 2^31-1] ，因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
从数学角度深究原理(仅供参考)
警告：以下因为涉及到数学原理性的问题，个人不保证绝对正确，且极有可能出现一些原理性错误，请谨慎对待！
计算机巧妙地把符号位参与运算，并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢？
钟表的例子
将钟表想象成是一个1位的12进制数，如果当前时间是6点，我希望将时间设置成4点，需要怎么做呢？我们可以：
1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4
2、3方法中的
mod是指取模操作，16 mod 12 = 4，即用16除以12后的余数是4。
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代！
现在的焦点就落在了如何用一个正数来替代一个负数。
上面的例子我们能感觉出来一些端倪，发现一些规律。但是数学是严谨的，不能靠感觉。
同余
首先介绍一个数学中相关的概念：同余
- 两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称
a，b对于模m同余 - 记作
a ≡ b (mod m) - 读作
a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明：
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28关于模 12 同余。
负数取模的计算
正数进行mod运算是很简单的，但是负数呢？
下面是关于mod运算的数学定义：
x mod y = x - y [ x / y ]
x mod y等于 x 减去y 乘上 x与y的商的下界
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2*[-3/2]
= -3 - 2*[-1.5]
= -3 - 2*(-2)
= -3 + 2
= 1
所以：
(-2) mod 12 = 12-2 =10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
数学证明
再回到时钟的问题上：
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意这里发现的规律！
结合上面学到的同余的概念，实际上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2与10是同余的
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4与8是同余的
距离成功越来越近了，要实现用正数替代负数，只需要运用同余数的两个定理：
反身性：
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的。
线性运算定理：
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以：
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数找到了它的正数同余数，但是并不是 7-2 = 7+10，而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)，即计算结果的余数相等。
接下来回到二进制的问题上，看一下：2-1=1的问题。
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到这一步，-1的反码表示是1111 1110，如果这里将[1111 1110]认为是原码，则[1111 1110]原 = -126，这里将符号位除去，即认为是126。
发现有如下规律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126的余数结果是相同的！而这个余数，正式我们的期望的计算结果：2-1=1
所以说一个数的反码，实际上是这个数对于一个膜的同余数；而这个膜并不是我们的二进制，而是所能表示的最大值！
这就和钟表一样，转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值！
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮，而因为符号位是参与计算的，正好和溢出的最高位形成正确的运算结果。
既然反码可以将减法变成加法，那么现在计算机使用的补码呢？为什么在反码的基础上加1还能得到正确的结果？
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码，去除符号位，则：
[0111 1111]原 = 127
其实，在反码的基础上+1，只是相当于增加了膜的值：
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时，表盘相当于每128个刻度转一轮，所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]。
但是由于0的特殊情况，没有办法表示128，所以补码的取值范围是[-128, 127]
2017-08-28
本文来自博客园，作者：白乾涛，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/baiqiantao/p/7442907.html
