动态规划

动态规划

动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。 当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度， 因此它比回溯法、暴力法等要快许多。

状态和状态转移方程

例子：01背包问题
有 n 个价值和重量分别为 v[i] 和 w[i] 的物品和一个容量为 m 的背包，要从中选出总重量不超过 m 的物品放入背包，问所有方案中价值总和的最大值。

输入

n=4
(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}
w=5

输出

7(选择0,1,3号物品)

状态： dp[i][j] 表示考虑前 i 个物品，背包容量为 j 时的最大价值
初始： dp[n][j] = 0
状态转移方程：

状态转移方程

图解

int dp[N][N];
void solve(){
    for (int i=n-1;i>=0;i--){
        for(int j=0;j<=w;j++){
            if(j<w[i])
                dp[i][j]=dp[i+1][j];
            else 
                dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }    
    }
        printf("%d\n",dp[0][w]);
}