字符串相似度算法《Levenshtein Distance》的学习笔记

  今天在这个博客中http://www.cppblog.com/whncpp/archive/2008/09/21/62378.html看到了这样的一个问题：

  一个字符串可以通过“增加一个字符”，“删除一个字符”，“替换一个字符”，从而得到另一个字符串，假设我们从字符串A转换为字符串B，前面3种操作所执行的最少次数就是A和B的相似度。求该最小次数。

  如 abc adc 度为 1
  ababababa babababab 度为 2
  abcd acdb 度为2

  那是相当有趣啊，哈哈，博客中介绍了这个问题最常用的解决算法--Levenshtein Distance，下面就来介绍下这个算法如何来解决这个问题（部分摘自维基百科http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance）

  假设我们可以使用d[ i , j ]个步骤（可以使用一个二维数组保存这个值），表示将串s[ 1…i ] 转换为 串t [ 1…j ]所需要的最少步骤个数，那么，在最基本的情况下，即在i等于0时，也就是说串s为空，那么对应的d[0,j] 就是 增加j个字符，使得s转化为t，在j等于0时，也就是说串t为空，那么对应的d[i,0] 就是 减少 i个字符，使得s转化为t。

  然后我们考虑一般情况，加一点动态规划的想法，我们要想得到将s[1..i]经过最少次数的增加，删除，或者替换操作就转变为t[1..j]，那么我们就必须在之前可以以最少次数的增加，删除，或者替换操作，使得现在串s和串t只需要再做一次操作或者不做就可以完成s[1..i]到t[1..j]的转换。所谓的“之前”分为下面三种情况：

1）我们可以在k个操作内将 s[1…i] 转换为 t[1…j-1]

2）我们可以在k个操作里面将s[1..i-1]转换为t[1..j]

3）我们可以在k个步骤里面将 s[1…i-1] 转换为 t [1…j-1]

针对第1种情况，我们只需要在最后将 t[j] 加上s[1..i]就完成了匹配，这样总共就需要k+1个操作。

针对第2种情况，我们只需要在最后将s[i]移除，然后再做这k个操作，所以总共需要k+1个操作。

针对第3种情况，我们只需要在最后将s[i]替换为 t[j]，使得满足s[1..i] == t[1..j]，这样总共也需要k+1个操作。而如果在第3种情况下，s[i]刚好等于t[j]，那我们就可以仅仅使用k个操作就完成这个过程。

  最后，为了保证得到的操作次数总是最少的，我们可以从上面三种情况中选择消耗最少的一种最为将s[1..i]转换为t[1..j]所需要的最小操作次数。

  更加具体的算法如下：

Step	Description
1	Set n to be the length of s. Set m to be the length of t. If n = 0, return m and exit. If m = 0, return n and exit. Construct a matrix containing 0..m rows and 0..n columns. 构造 行数为m+1 列数为 n+1 的矩阵 , 用来保存完成某个转换需要执行的操作的次数，将串s[1..n] 转换到 串t[1…m] 所需要执行的操作次数为matrix[n][m]的值
2	Initialize the first row to 0..n. Initialize the first column to 0..m. 初始化matrix第一行为0到n，第一列为0到m。 Matrix[0][j]表示第1行第j-1列的值，这个值表示将串s[1…0]转换为t[1..j]所需要执行的操作的次数，很显然将一个空串转换为一个长度为j的串，只需要j次的add操作，所以matrix[0][j]的值应该是j，其他值以此类推。
3	Examine each character of s (i from 1 to n).
4	Examine each character of t (j from 1 to m).
5	If s[i] equals t[j], the cost is 0. If s[i] doesn't equal t[j], the cost is 1. 将串s和串t的每一个字符进行两两比较，如果相等，则让cost为0，如果不等，则让cost为1（这个cost后面会用到）
6	Set cell d[i,j] of the matrix equal to the minimum of: a. The cell immediately above plus 1: d[i-1,j] + 1. 如果我们可以在k个操作里面将s[1..i-1]转换为t[1..j]，那么我们就可以将s[i]移除，然后再做这k个操作，所以总共需要k+1个操作。 b. The cell immediately to the left plus 1: d[i,j-1] + 1. 如果我们可以在k个操作内将 s[1…i] 转换为 t[1…j-1] ，也就是说d[i,j-1]=k，那么我们就可以将 t[j] 加上s[1..i]，这样总共就需要k+1个操作。 c. The cell diagonally above and to the left plus the cost: d[i-1,j-1] + cost. 如果我们可以在k个步骤里面将 s[1…i-1] 转换为 t [1…j-1]，那么我们就可以将s[i]转换为 t[j]，使得满足s[1..i] == t[1..j]，这样总共也需要k+1个操作。（这里加上cost，是因为如果s[i]刚好等于t[j]，那么就不需要再做替换操作，即可满足，如果不等，则需要再做一次替换操作，那么就需要k+1次操作） 因为我们要取得最小操作的个数，所以我们最后还需要将这三种情况的操作个数进行比较，取最小值作为d[i,j]的值
7	After the iteration steps (3, 4, 5, 6) are complete, the distance is found in cell d[n,m]. 然后重复执行3,4,5,6，最后的结果就在d[n,m]中