字符串匹配BM（Boyer-Moore）算法学习心得
BM算法 是 Boyer-Moore算法 的缩写，是一种基于后缀比较的模式串匹配算法。BM算法在最坏情况下可以做到线性的，平均情况下是亚线性的（即低于线性）。这也是他在实际应用中优于KMP算法的一个原因吧。
最近突然在看[柔性字符串匹配].[Flexible.Pattern.Matching.in.Strings](Gonzalo.Navarro,.Mathieu.Raffinot)，想了解一下字符串匹配的一些算法，以前使用的算法基本都只是和ACM有关的，而且在单串匹配的情况下一般都只用KMP算法，而在这本书中对KMP算法的评价并不是很好，原因主要是出于工程上的“实用”上的原因吧。KMP算法虽然在理论上最坏复杂度也是线性的，可是在实际应用中并没有那么多最坏情况，而且如果用于模式匹配的话，很多情况下模式串也是很短的。
下面来说一说我写这个的原因吧，我搞了两年ACM嘛，现在看书肯定还是和ACM有一定关系的，而且很自然的会将一些事情和ACM中做对比的。[柔性字符串匹配]说KMP在实际应用中不好，那我就想反过来看一下在实际应用中比较好的算法在ACM中效果怎么样了，最先看到的就是BM算法（当然在书中还看到了Shift-or 和Shift-and 算法，但由于长度限制差别太大，实在不具可比性，不过这两个算法个人感觉是相当优雅的）。由于这本书太实用了，对于“不实用”的算法都只做基本介绍（对于KMP算法也一样，只做了一点大概的介绍，其实我非常不明白为什么会出现这种现象，难道理论和应用的差别有这么大么?）。书上说原始BM算法在最坏情况下复杂度是O(n*m)的，O(n*m)的算法在ACM中必然是不“实用”的，但它说BM算法有两个优化版本可以在最坏情况下也能达到线性的。这样一来我觉得就有一定可比性了，于是就想仔细看一下BM算法。
书上说的两个算法是：the Boyer-Moore-Galil [Gal79] and the Turbo-BM[CGR92] algorithms。
我找了找，也没找到什么相关资料，但是回头一想这个算法都出来这么久了，直接搜BM算法应该也能搜出优化过的BM算法吧。
下面是我找到的一些文章。
这篇文章好像是淘宝的吧，其中没有明确指出BM算法的时间复杂度。
M模式匹配算法原理（图解）
这篇文章对BM进行了大致的讲解，文中分析到了时间复杂度，
文中为：最好情况下的时间复杂度为O(n/m)，最坏情况下时间复杂度为O(m·n)。
在第一篇文章中提到了时间复杂度：整个算法的时间复杂度最坏的情况是 O(m)，m 是 T 的长度。
可有一点我不明白，按这篇文章中的作法，好像并没有对原始的BM算法进行优化，而原始的BM算法确实是O(m·n)的。
又重新去搜论文了。
A Fast String Searching Algorithm - The University of Texas at Austin
Boyer-Moore-Galil [Gal79] Z. Galil. On improving the worst case running time of the Boyer-Moore string searching algorithm. Communications of the ACM, 22(9):505–508, 1979.
看了一下这两篇论文，看一下第一篇，实在太长了（其实只有11页但相对于第二篇只有4页）。然后果断看第二篇，虽然已经是三十多年前的论文了。
在这里费话两句，之前我因为《柔性字符串匹配》这本书说KMP不怎么实用，心里还感觉有点不爽，你说KMP不实用，那你拿一个实用且理论最坏复杂度为线性的算法让我看看。再加上找了一天多也只有一些BM算法的原始版。看了上面的第二篇文章，实现了一下其中的算法并在POJ上试了试，果然没问题。在这一刻我深深的折服于《柔性字符串匹配》了。这本书果然名副其实。值得推荐。
好了，费话也就说这么多，接下来说点技术性的吧，看看Z. Galil. 是如何将BM的最坏情况复杂度降到线性的。在这里，我默认大家是明白BM算法原理的。加上上面已经有那么多文章是写BM算法的了（如果需要，建议阅读淘宝的那篇），我这里只讨论的优化了。
以下讨论中，文本串用T表示，模式串用p表示。|S|表示字符串S的长度。默认情况下，n=|T|，m=|p|
为什么原始的BM算法在最坏情况下是O(n*m)的呢？一个最简单的实例就是 p=a^m，T=a^n。就是说模式串是由m个a组成，文本是由n个a组成，在这种情况下，找出所有匹配复杂度就是O(n*m)的。造成这种情况最主要的就是BM算法在向后滑动的时候对之前匹配过的字符的利用率并不高，不像KMP，一旦匹配过，就不会再回过头再匹配一次，这也是我感觉KMP相当神的一点。
在此之前先讨论几个概念，一个是字符串的周期性。
直观的理解就是类似：abcabcabcabc,aabaabaab...这样的串，都是有周期性的。我们在这里认为这种模式串也具有周期性的——abcabcab，就是最一个重复单元是不完整的。这里的周期性指至少重复一次以上，这种串不算有周期性——abcdabc。随便提一下，这样的串不具有周期性——ababababc，这里的周期性是针对于整个字符串来说的。
对于具用周期性的模式串，记模式串的最小正周期长度为ord。
再引出一个定义：匹配块，T中的一段匹配块是一段连续的字符串，其中包含有匹配上的匹配串，并且这些匹配上的区域是相互重叠的并且尽可能向左右延伸。当然在匹配块中不包含多余的字符。举一个例子。（这里对匹配块的定义不准确，大家明白这个意思就行了。）
p = aba
T = abababaabaaba
其中前面一部分就是一个匹配块：abababa，后面的abaaba不算，因为匹配上匹配串没有相互重叠。
基于以下几点讨论，我们可以对BM算法进行优化。
（1）如果文本串中不含模式串，那么BM算法在最坏情况下的比较次数为7n次。
（2）BM算法的最坏情况复杂度为O(n+r*m)，其中n为|T|，m为|p|，r为p在T中出现次数。
（3）如果在上式中r>2n/m，则p是具有周期性的。
（4）如果p不具周期性，那么BM算法在最坏情况下是线性的。
（5）记一个匹配块中所有匹配上的位置为p0,p1,...,pk（以递增方式排列），
那么对于0<i<=k,pi - p(i-1)=ord。而且每个匹配块中的匹配可以做到线性。
（6）优化之后的BM' 算法是O(n)的。
优化方法：每次成功匹配以后，向右移ord，并且在这种情况下只匹配那ord个字符。
伪代码如下：
优化部分伪代码
1 last = 0;
2 for(k=0; k+|p|<=|T|; )
3 {
4 for(i=pn-1; i>=last && T[k+i]==p[i]; )
5 i--;
6 if( i<last )
7 { /// 成功匹配
8 last = |p| - ord;
9 k += ord;
10 }
11 else
12 { /// 匹配失败
13 last = 0;
14 k += (BM算法中的移动距离);
15 }
16 }
这里就是算法的核心了。这里 hust 有BM实现poj 3461的完整代码。
这个优化只要知道的话就很好做了，在已有的BM代码上加两行就实现了。
这个改进之后的BM' 算法在最坏情况下是线性的。
下面是相关说明，论文上也有证明。这里以比较直白的方式对其进行一些分析。
（1）如果文本串中不含模式串，那么BM算法在最坏情况下的比较次数为7n次。
这一条我也不知道怎么证明的，这里默认他是正确的吧。论文上说比较复杂没有介绍。
（2）BM算法的最坏情况复杂度为O(n+r*m)，其中n为|T|，m为|p|，r为p在T中出现次数。
这里我们把所有的r次完整匹配取出来，总共r*m次比较。这里我们想像用这r次匹配上的位置（取最左端）把T分割成了r+1个部分。对于前r个部分，我们还需要在其右端加上(m-1)字符。这里的r+1个文本串已经无法匹配上p了。所以这里可以直接使用（1）了。而这时的总长度约为（n+r*m），代入第一条可得总比较次数少于：
7*n + 8*r*m <- ( 7*(n+r*m) + r*m )
（3）如果在上式中r>2n/m，则p是具有周期性的。
这里可以用鸽笼原理。先讨论当r>n/m时，即r*m>n。所有匹配的长度之和已经大于了|T|，这时，至少有两个匹配上的串是互相重叠的。这样，r>2*n/m就很好理解了吧，r*(m/2)>n，至少存在两次匹配上的串是互相重叠的，并且，重叠部分大于m/2。这代表了什么含意呢？想像一下，一个字符串，可以通过平移一小段距离，使重叠的那一部分互相匹配。这可以推出这个串是具有周期性的。
（4）如果p不具周期性，那么BM算法在最坏情况下也是线性的。
这条可以用（3）的逆否命题得到：如果p不具有周期性，那么在上式中r<=2n/m。再代入（2）中表达式O(n+r*m)。可得此时BM算法复杂度O(3*n)即O(n)。
（5）记一个匹配块中所有匹配上的位置为p0,p1,...,pk（以递增方式排列）。那么对于0<i<=k,pi - p(i-1)=ord。
这一点显然吧。其实我并不是特别明白论文中特意指出这一点的意义何在。
（6）BM' 算法是O(n)的。
在这一点的理解上，很接近第二步的分析。把所有的匹配块提取出来，对于匹配块来说匹配是线性的，匹配块的总长是在O(n)级别的。这里需要说明一点的是匹配块是可以相互重叠的，但重叠部分不会大于m/2。而在剩下部分的匹配依然是O(n)级别的，所以总的时间复杂度也是O(n)的。
最后加一点关于（4）点的讨论：我之前有一个错误的认识，我以为当p=b+a^m,T=a^n 时BM算法也是O(n*m)的，但我分析错了一个地方，我以为当每次匹配到p的最左边的b时，失败后只向右跳一个字符，而实际情况是向右跳了串长这么多。对BM的理解不够啊。
附上poj测试图，虽然从这里看BM算法跑得比kmp慢了一点，但我已经很满足了。
上面的两份代码是用BM实现的，下面两份是用KMP实现的。
