8.22 约瑟夫问题

题意

经典的约瑟夫问题

\(n\)个人标号为\(0...n-1\)排成一圈，由第\(0\)个人开始报数，报到\(k\)的人去世

求最后一个活下来的人是谁

解法

解法\(0\)：模拟算法\(O(n^2)\)

链表模拟删除即可

入门题

解法\(1\)：线性算法\(O(n)\)

int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)	res = (res + k) % i;
return res;

线性算法实际上是一个倒推的过程

从\(0\)开始数\(k\)个数，死的人的相对编号是\(k-1\)，于是新的起点由\(k\)开始

那么得到的答案为了还原就需要加上\(k\)，为了避免超过长度，模掉一个\(i\)即可

解法\(2\)：对数算法\(O(k\log n)\)

int josephus(int n, int k) {
    if (n == 1)	return 0;
    if (k == 1)	return n - 1;
    if (k > n)	return (josephus(n - 1, k) + k) % n;
    int res = josephus(n - n / k, k);
    res -= n % k;
    if (res < 0)
        res += n;
    else 
        res += res / (k - 1);
    return res;
}

同样也是计算出规模更小的子问题之后还原

当我们计算出以\(k\)为起点长度为\(n-1\)的子问题的答案后，我们需要把它还原为以\(0\)为起点长度为\(n\)的问题的答案

可以画个图来理解

首先将答案减去\(n\%k\)，还原至起点为\(0\)

如果此时答案\(<0\)，说明它并没有跨过任意一个被删除的人，直接\(+n\)即可（相当于模掉一个\(n\)）

否则加上其跨过的所有被删除的人，以\(k-1\)为一段，每一段添加一个