【BZOJ】【3675】【APIO2014】序列分割

DP+斜率优化


  首先我们根据这个分割的过程可以发现:总得分等于k+1段两两的乘积的和(乘法分配律),也就是说与分割顺序是无关的。

  再对乘积进行重分组(还是乘法分配律)我们可以转化为:$ans=\sum$第 i 段×前 i-1 段的和

  所以我们就可以以分割次数为阶段进行DP啦~

  令f[i][j]表示将前 j 个数分成 i 段的最大得分,那么就有$$f[i][j]=max\{ f[i-1][k]+sum[k]×(sum[j]-sum[k]) \}$$我们观察到这个式子其实是很像斜率优化的……而且sum明显满足单调性!所以来推一下决策单调性的式子=。=

  当决策k1<k2时:

  $$ \begin{aligned} f[i-1][k1]+sum[k1]*(sum[j]-sum[k1]) &< f[i-1][k2]+sum[k2]*(sum[j]-sum[k2]) \\ sum[j]*(sum[k1]-sum[k2]) &< f[i-1][k2]-f[i-1][k1]+sum[k1]^2-sum[k2]^2 \\ sum[j] &> \frac{f[i-1][k2]-f[i-1][k1]+sum[k1]^2-sum[k2]^2}{sum[k1]-sum[k2]} \end{aligned}$$

  这题我被坑在:$sum[k1]-sum[k2]\leq 0$!!!

  所以搞斜率的时候,分母可能为0……所以就不能写成斜率的形式,而是搞成上一行那种……但是由于有个负数,所以还要仔细考虑不等号的方向!QAQ

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 3675
 3     User: Tunix
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:18176 ms
 7     Memory:5180 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 //BZOJ 3675
11 #include<vector>
12 #include<cstdio>
13 #include<cstring>
14 #include<cstdlib>
15 #include<iostream>
16 #include<algorithm>
17 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
18 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
19 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
20 #define pb push_back
21 using namespace std;
22 inline int getint(){
23     int v=0,sign=1; char ch=getchar();
24     while(ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
25     while(ch>='0'&&ch<='9'){ v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
26     return v*sign;
27 }
28 const int N=1e5+10,INF=~0u>>2;
29 typedef long long LL;
30 /******************tamplate*********************/
31 LL f[2][N],a[N],sum[N];
32 int from[N],n,m,q[N];
33 double slope(int i,int j,int k){
34     i=i&1;
35     return double(f[i][k]-f[i][j]+sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k]);
36 }
37 int main(){
38 #ifndef ONLINE_JUDGE
39     freopen("3675.in","r",stdin);
40     freopen("3675.out","w",stdout);
41 #endif
42     n=getint(); m=getint();
43     F(i,1,n) a[i]=getint(),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
44     F(i,1,m){
45         int now=i&1;
46         int l=0,r=-1; q[0]=0;
47         F(j,1,n){
48             while(l<r && slope(i-1,q[l],q[l+1])>=sum[j]*(sum[q[l]]-sum[q[l+1]])) l++;
49             int t=q[l];
50             f[now][j]=f[now^1][t]+sum[t]*(sum[j]-sum[t]);
51             while(l<r && slope(i-1,q[r-1],q[r])*(sum[q[r]]-sum[j])>=slope(i-1,q[r],j)*(sum[q[r-1]]-sum[q[r]])) r--;
52             q[++r]=j;
53         }
54     }
55     printf("%lld\n",f[m&1][n]);
56     return 0;
57 }
View Code

3675: [Apio2014]序列分割

Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 541  Solved: 202
[Submit][Status][Discuss]

Description

小H最近迷上了一个分割序列的游戏。在这个游戏里,小H需要将一个长
度为N的非负整数序列分割成k+l个非空的子序列。为了得到k+l个子序列,
小H将重复进行七次以下的步骤:
1.小H首先选择一个长度超过1的序列(一开始小H只有一个长度为n的
序列一一也就是一开始得到的整个序列);
2.选择一个位置,并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新
序列。
每次进行上述步骤之后,小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序
列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方案,使得k轮(次)之后,
小H的总得分最大。

Input

输入文件的第一行包含两个整数n和尼(k+1≤n)。
第二行包含n个非负整数a1,n2….,an(0≤ai≤10^4),表示一开始小H得
到的序列。

Output


一行包含一个整数,为小H可以得到的最大得分。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT



【样例说明】

在样例中,小H可以通过如下3轮操作得到108分:

1.-开始小H有一个序列(4,1,3,4,0,2,3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分,并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2.这一轮开始时小H有两个序列:(4),(1,3,4,0,2,3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分,并得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3.这一轮开始时小H有三个序列:(4),(1,3),(4,0,2,3)。小H选择在第5个

数字之后的位置将第三个序列分成两部分,并得到(4+0)×(2+3)=

20分。

经过上述三轮操作,小H将会得到四个子序列:(4),(1,3),(4,0),(2,3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

:数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1,200)。

Source

[Submit][Status][Discuss]
posted @ 2015-04-26 22:59 Tunix 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏