斜率DP个人理解

斜率DP

斜率DP的一版模式:给你一个序列,至多或分成m段,每段有花费和限制,问符合情况的最小花费是多少;

一版都用到sum[],所以符合单调,然后就可以用斜率优化了,很模板的东西;

如果看不懂可以先去看一下本博客----斜率DP题目,看一下第一道题目,然后在回来看push,pop是为什么这样操作;

 

首先通过对方程的化简得到如下递推方程
DP[i] = min/max( -a[i]*x[j] + y[j] ) + w[i]; (1<=j<i)

一般情况下,x[j],y[j],a[i]都是单调递增的,(求最小值,维护的是下右凸包)
当然也可以x[j]单调递减,y[j]单调递增,a[i]单调递增;(求最小值,维护的是下左凸包)

对于DP[i],显然只要找到一个j使a[i]*x[j]+y[j]最小就可以了,
注意对于DP[i]来说,a[i],w[i]都是常量;

一般对于DP[i] =min/max(-a[i]*x[j] + y[j] )+ w[i],最朴素的时间复杂度是O(n^2);
为什么可以优化呢


设G = -a[i]*x[j] + y[j],
移项: y[j] = a[i]*x[j] + G;
现在的问题就是:已知道a[i]也就是斜率,给你几个点(x[j],y[j]),找一个点带入使得G最小;
G是直线与Y轴的交点的纵坐标的值,显然这个点一定在这些点形成的凸包上,

(图是x[i],y[i],单调递增,斜率为正的情况)

因为我们在从小到大递推求解,求DP[i]的时候DP[j](0<=j<i)都是已知的
所以我们可以在求完DP[i]之后可以马上把点(x[i],y[i])加入,来维护一个凸包;

这里还需要一个小知识点,就是凸包的维护,如果写过凸包的话,我们都知道在维护前
都要先把点排序(不管是水平序,还是极角序)
这就是为什么要x[i],y[i]是单调的原因了,只有单调才可以按照递推的顺序直接维护凸包了;

 

但如果所有的点都在凸包上,那么这个优化也就不算优化了,

所以问题变成:
对于一条已知斜率的直线,如何从凸包上找一个点使它与Y轴的交点的纵坐标值最小;

对于一个下凸包,且斜率单调递增:(求最小值的情况下)
我们现在假设直线和下凸包里斜率最小的直线重合,不断的变大这条直线的斜率,
也就是沿着这个凸包旋转,
我们发现,这条直线要么跟凸包的一条直线重合,要么经过凸包的一个点,
且一旦一个点被旋转过去后,接下来斜率变大的直线都不可会再经过这个点重合,
也就是说一旦一个点被淘汰了,那么它在接下来的过程中也不会被用到,

 

 

这样我们就有一个O(n)的算法,每次从凸包队列里从头比较相临的俩个点,谁得到的G
比较小,如果后一个点得到的G小,说明前一个点在接下来的状况下也不是最优的,所以
可以直接淘汰。

而所谓的单调队列优化其实也是这样,就是在队列里维护可能提供最优值的那些状态,
不断的插入新的点,不断的删掉不符合或者不优的点;
然后在维护的队列里快速的找到那个使当前状态最优的那个状态;

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 #include<vector>
 8 #include<set>
 9 using namespace std;
10 const int N=50000+10;
11 typedef long long LL;
12 struct Point{
13     LL x,y;
15 Point (LL a=0,LL b=0):x(a),y(b){} 16 Point operator - (const Point &p) const{ 17 return Point(x-p.x,y-p.y); 18 } 19 }; 20 typedef Point Vector; 21 inline LL Cross(const Vector &u,const Vector &v){ 22 return u.x*v.y - u.y*v.x; 23 } 24 int n,M; 25 struct dequeue{ 26 Point q[N]; 27 int head,tail; 28 void init(){ 29 head = 1; tail = 0; 30 } 31 void push(const Point &u){ 32 while (head < tail && Cross(q[tail]-q[tail-1],u-q[tail-1]) <= 0 ) tail--; 33 q[++tail] = u; 34 } 35 Point pop(const LL &k){//斜率的大小 36 while (head < tail && k*q[head].x + q[head].y >= k*q[head+1].x + q[head+1].y ) head++; 37 return q[head]; 38 } 39 }H; 40 // dp[i] = -k*x[j] + y[j] + w; 41 // 写成结构体常数比较大; 42 void solve(){ 43 44 H.init(); 45 //队列里初始值得看情况,比如H.push(Point(0,0)); 46 for (int i=1;i<=n;i++){ 47 Point t = H.pop(k); 48 dp[i] = -k*t.x + t.y + W; 49 H.push(Point(x[i],y[i])); 50 } 51 }

 

 

还有就是不满足单调的,首先是
斜率不满足单调性,x[i],y[i]还是满足单调;
这样凸包还是可以直接维护的,但是找凸包上的点就不能在o(1)的时间找到;
但是我们可以用三分找,因为按照队列里点的顺序G值是先变小后变大的;

也可以二分斜率,因为在凸包上相邻两个点的斜率是单调递增的;

 

 1     用find()代替pop();    
 2     int find(const LL &k){
 3         int l = head, r = tail;
 4         while (r - l >= 3){
 5             int m1 = l + (r-l)/3;
 6             int m2 = r - (r-l)/3;
 7             if (k*q[m1].x+q[m1].y >= k*q[m2].x+q[m2].y ) l = m1+1;
 8             else r = m2-1;
 9         }    
10         int ret = l;
11         for (int i = l+1; i <= r; i++) {
12             if (k*q[i].x+q[i].y <= k*q[ret].x+q[ret].y) ret = i;
13         }
14         return ret;
15     }

 

 

然后如果x[i],y[i]也不满足单调,这样就不能直接维护凸包了,需要动态维护凸包
简单点的就是用set,但是set无法实现kth大,所以得自己写平衡树;


先找到插入点前驱,和后继(水平序),然后分两边同时维护凸包,(如果还不太清楚可以看一下本博客的动态凸包的代码)

再用三分找最小;

要用到的就是findPre(),findNext(),kth();当然也可以在插入的时候记录下该点跟前驱的斜率,然后

直接查找第一个比读入斜率大的点就可以,因为在平衡树里斜率也是满足二叉树的性质的,这样就不用kth()了,

代码可以参看hust里;


因为一个点被删除后就不会在进入凸包,时间O(logn),查找要logn;
所以总时间复杂度为O(logn*logn*n);

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=31649

货币兑换:splay  dp[i] = ai[i]*x[j]+bi[i]*y[j] ----->  dp[i]/bi[i] = ai[i]/bi[i] *x[j] +y[j];

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<iostream>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cmath>
  6 #include<vector>
  7 #include<cstdlib>
  8 using namespace std;
  9 const int N=100000+10;
 10 const  double eps=1e-8;
 11 inline int dcmp(double x){
 12     return x<-eps ? -1 : x>eps;
 13 }
 14 struct Point{
 15     double x,y;
 16     Point(double a=0,double b=0):x(a),y(b){}
 17     Point operator - (const Point &p)const{
 18         return Point(x-p.x,y-p.y);
 19     }
 20     double operator * (const Point &p)const{
 21         return x*p.y - y*p.x;
 22     }
 23     bool operator < (const Point &p)const{
 24         return dcmp(x-p.x)<0 || (dcmp(x-p.x)==0 && dcmp(y-p.y)<0);
 25     }
 26 };
 27 struct splay_tree{
 28     int sz,root,ch[N][2],pre[N],ss[N];
 29     Point val[N];
 30     void rotate(int x){
 31         int y = pre[x];
 32         int f = (ch[y][0]==x);
 33         ch[y][f^1] = ch[x][f];
 34         pre[ ch[x][f] ] = y;
 35         pre[ x ] = pre[ y ];
 36         ch[ pre[y] ][ ch[ pre[y] ][ 1 ] == y ] = x;
 37         ch[x][f] = y;
 38         pre[y] = x;
 39         pushup(y);
 40     }
 41     void splay(int x,int goal){
 42         while (pre[x] != goal ){
 43             int y = pre[x], z = pre[y];
 44             if (z==goal){
 45                 rotate(x);
 46             }else {
 47                 int f = (ch[z][0]==y);
 48                 if (ch[y][f] == x){
 49                     rotate(x); rotate(x);
 50                 }else {
 51                     rotate(y); rotate(x);
 52                 }
 53             }
 54         }
 55         pushup(x);
 56         if (goal == 0) root=x;
 57     }
 58     void init(){
 59         sz=0; ch[0][0]=ch[0][1]=pre[0]=0; val[0]=Point(0,0); ss[0]=0;
 60     }
 61     void pushup(int x){
 62         ss[x] = ss[ ch[x][0] ] + ss[ ch[x][1] ] + 1; 
 63     }
 64     void insert(Point x){
 65         val[++sz]=x; ss[sz]=1; 
 66         ch[sz][0]=ch[sz][1]=pre[sz]=0;
 67         if (sz==1){
 68             root=1; return;
 69         }
 70         int u,f;
 71         for (u=root; ch[u][f=val[u]<x]; u=ch[u][f]);
 72         ch[u][f] = sz;
 73         pre[sz] = u;
 74         splay(sz,0);
 75         if (sz<=2) return;
 76         ins(sz);    
 77     }
 78     void remove(int x){
 79         int u = findPre(x), v = findNext(x);
 80         splay(u,0); splay(v,u);
 81         ch[v][0]=0;
 82         splay(v,0);
 83     }
 84     int findPre(int x){
 85         splay(x,0);
 86         int u;
 87         if (ch[x][0]==0) return 0;
 88         for (u=ch[x][0]; ch[u][1]; u=ch[u][1]);
 89         return u;
 90     }
 91     int findNext(int x){
 92         splay(x,0);
 93         int u;
 94         if (ch[x][1]==0) return 0;
 95         for (u=ch[x][1]; ch[u][0]; u=ch[u][0]);
 96         return u;
 97     }
 98     void ins(int x){
 99         int u = findPre(x), v = findNext(x);
100         if (u!=0 && v!=0) {
101             double k= (val[u]-val[x])*(val[v]-val[x]);
102             if (dcmp(k)<=0) {
103                 remove(x); return;
104             }
105         }
106         while (1){
107             u=findNext(x);
108             if (u==0) break;
109             v=findNext(u);
110             if (v==0) break;
111             double k=(val[u]-val[x])*(val[v]-val[x]);
112             if (dcmp(k)>=0){
113                 remove(u);
114             }else break;
115         }
116         while (1){
117             u=findPre(x);
118             if (u==0) break;
119             v=findPre(u);
120             if (v==0) break;
121             double k=(val[u]-val[x])*(val[v]-val[x]);
122             if (dcmp(k)<=0){
123                 
124                 remove(u);
125             }else break;
126         }
127     }
128     int kth(int k){
129         int tmp=k;
130         if (k>ss[root]) return 0;
131         int x = root;
132         while (ss[ ch[x][0] ]+1!=k){
133             int c = ss[ ch[x][0] ];
134             if (k<=c) x = ch[x][0];
135             else {
136                 x = ch[x][1];
137                 k -= c+1;
138             }
139         }
140         splay(x,0);
141         return x;
142     }
143     double cal(double k,int x){
144         return k*val[x].x+val[x].y;
145     }
146     Point find(double k){
147         int l=1,r=ss[root];
148         while (r-l>3){
149             int m1= l+(r-l)/3;
150             int m2= r-(r-l)/3;
151             if (cal(k,kth(m1))>cal(k,kth(m2))) r=m2-1;
152             else l=m1+1;
153         }
154         int ret=kth(l);
155         double tmp=cal(k,ret);
156         for (int i=l+1;i<=r;i++){
157             int t=kth(i);
158             double t2=cal(k,t);
159             if (tmp<t2) {
160                 ret=t; tmp=t2;
161             }
162         }
163         return val[ret];
164     }
165     void debug(){
166         printf("root: %d\n",root);print_tree(root);
167     }
168     void print_tree(int x){
169         if (x){
170             print_tree(ch[x][0]);
171             printf("now: %d ,fa: %d ,son0: %d ,son1: %d ,size: %d\n",x,pre[x],ch[x][0],ch[x][1],ss[x]);
172             print_tree(ch[x][1]);
173         }
174     
175     }
176 }H;
177 int n,s;
178 double ak[N],bk[N],rk[N];
179 double dp[N];
180 void solve(){
181     H.init();
182     double x,y;
183     dp[1]=s;
184     y = (double)s/(rk[1]*ak[1]+bk[1]);
185     x = rk[1]*y;
186     H.insert(Point(x,y));
187     for (int i=2;i<=n;i++){
188         Point t = H.find(ak[i]/bk[i]);
189         dp[i] =max(dp[i-1], ak[i]*t.x+bk[i]*t.y);
190         y = dp[i]/(rk[i]*ak[i]+bk[i]);
191         x = rk[i]*y;
192         H.insert(Point(x,y));    
193     }
194     printf("%.3lf\n",dp[n]);
195 }
196 int main(){
197 //    freopen("in.txt","r",stdin);
198 //    freopen("1.out","w",stdout);
199     while (~scanf("%d%d",&n,&s)){
200         for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rk[i]);
201         solve();
202     }
203 
204     return 0;
205 }
View Code

 

 

这样对于形如 DP[i] = min/max(-a[i]*x[j]+y[j])+w[i]; (1<=j<i)
的DP方程都可以解决了;

posted @ 2013-07-11 19:25 Rabbit_hair 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏