进制间的相互转化

 进制间的转换如下图所示：                                                      

由上图可知，进制间共有12种转换。下面将逐一介绍这12种转换方法

（1）二进制转化为八进制

       原理：<1>1位八进制数可以用3位二进制数码表示

               <2>以小数点为边界：若小数点左侧（即整数部分）不是3的整数倍，则在最左侧补零，对小数点右侧（即小数部分）应在最右侧补零

      例：   将（10.101）2 转化为八进制。

              解：（1）将二进制补足3位

                           即：（010.101）2

                       （2）按权值转换

                           （0×2² + 1×2¹ +0×2⁰）.(1×2² + 0×2¹ +1×2⁰)=2.5

                    故 （010.101）₂ =（2.5）₁₀

      注意：从最低位开始把3位划分为一组。

（2）二进制转化为十进制

  例： 将（1101.0101）₂转化为十进制。

          解：2³+ 2²+2⁰+2^-2+ 2^-4=13.3125

        故 （1101.0101）₂=(13.3125）₁₀

解题技巧：记住对应的位权

20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	210	211
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048

 

 

（3）二进制转化为十六进制

       原理：<1>1位十六进制数可以用4位二进制数码表示

               <2>以小数点为边界：若小数点左侧（即整数部分）不是4的整数倍，则在最左侧补零，对小数点右侧（即小数部分）应在最右侧补零

例：  将(10.101)₂转化为十六进制。

          解：（1）将二进制补足3位

                           得 （0010.1010）2

                  （2）按权值转换

                           2¹ _.(2³+2¹)=2.A

                  故   （10.1010）2 =（2.A）₁₆

       注意：从最低位开始把3位划分为一组。

 

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（4）八进制转化为二进制

      原理：将一个八进制数分成三个二进制数，用三位二进制按权相加，最后得到二进制，小数点不变。

          例：将（376.01）₈转化为二进制。

           分解图如下：

    

         故  （376.01）₈=（11111110.000001）₂

（5）八进制转化为十进制

 例：将（7.44）₈ 转化为十进制

      解：（7.44）₈ =7×8⁰+4×8^-1+4×8^-2=（7.5625）₁₀

注意：八进制基本符号的取值范围，即：0~7.

 

（6）八进制转化为十六进制

     这里有两种解法：

                    解法一：将八进制转化为二进制，再将二进制转化为十六进制

                    解法二：将八进制转化为十进制，再将十进制转化为十六进制

例：        将（67.54）₈ 转化为十六进制。

         解法一

             <1> 将八进制转化为二进制

                   （67.54）₈=(110111.101100)₂

             <2>将二进制转化为十六进制

                  故  (110111.101100)₂=(37.B)₁₆

         解法二

               <1>将八进制转化为十进制

                     (67.54)₈=(55.6875)₁₀

               <2>将十进制转化为十六进制

                  故  (55.6875)₁₀=(37.B)₁₆

 （7）十进制转化为二进制

       整数部分---原理：<1>用2除十进制的整数部分，取余数最低位数值

                               <2>再用2除商，取余数最低位数值

                               <3>重复<2>直到商为0.

例：  将37转化为二进制。

    解：如下分解

         

得  （37）₁₀=（100101）_2.

注意：余数部分是由低到高，写出的二进制是由高到低。

 

余数部分---原理：<1>用2乘十进制小数部分，取乘积整数得到最高位

                        <2>再用剩余小数部分乘2，取乘积整数得到次高位

                        <3>重复直到乘积为0或得到的小数位满足要求

例：  将0.43转化为二进制小数。（假设要求小数点后五位）

       解：如下图所示

故  转化后的二进制小数为（0.01101）₂

（8）十进制转化为八进制

例： 将（1109）₁₀转化为八进制。

      解：如下图解

    

故 （1109）₁₀=（2125）₈

下面我们来看看转化为八进制小数的情况

例如：（0.385）₁₀转化为八进制小数。

    解：            0.385x8

                 3   0.08x8

                 0   0.64x8

                 5   0.12x8

               结果：（0.385）₁₀=（0.305）₈

（9）十进制转化为十六进制

   例：将（55.6875）₁₀转化为十六进制。

        解：<1>先求小数部分

            得 （55）₁₀=（37）₁₆

              <2>求小数部分

                                       0.6875x16

                                 11    0

           得  （0.6875）₁₀=（0.B）₁₆

   故结果为：（55.6875）₁₀=(37.B)

(10)将十六进制转化为二进制

  原理：将一位十六进制数分解成四位二进制数，再用四位二进制按权相加，最后得到十六进制数，小数点位置不变。

   例：将（6E.2）₁₆转化为二进制。

解：图解如下

     

故结果为：（6E.2）₁₆=（01101110.001）₂

 

 

(11)十六进制转化为八进制

解题思路：先将十六进制转化为二进制，然后再将二进制转化为八进制。

  例：将（8E.09）₁₆转化为八进制。

        解：<1>将十六进制转化为二进制,得

                   （8E.09）₁₆=（10001110.00001001）₂

              <2>将二进制转化为八进制,得

                    （10001110.00001001）₂=（216.022）₈

      所以转化的最终结果为

                      （8E.09）₁₆=（216.022）₈

（12）十六进制转化为十进制

     例：将（1A.08）₁₆ 转化为十进制。

          解：（1A.08）₁₆=1x16+10x16⁰+8x16^-2=(26.03125)₁₀

故结果为：（1A.08）₁₆=（26.03125)_10.

 

 

到这里有关进制间的相互转换都已经完成，当然在分析解题思路和举例的过程中可能会有一些失误。如果有不足或者需要扩展的地方还望广大朋友多多指教。同时也希望能对大多数朋友有所帮助。