[codevs3657]括号序列
题目大意:有一列只有'(',')','[',']'构成的括号序列,求在序列中至少加上多少括号,能使该序列合法。
解题思路:区间dp。
我们以$f[i][j]$表示把区间$[i,j]$添成合法括号所需的最小括号数。
设某段序列为$S_0$,它对应区间为$[i,j]$,括号数为$f[i][j]$.
若$S_0$形如$(S_1)$或$[S_1]$,$f[i][j]=min\{f[i][j],f[i+1][j−1]\}$;即令$S_1$合法后,$S_0$可合法。
若$S_0$形如$(S_1$或$[S_1$,$f[i][j]=min\{f[i][j],f[i+1][j]+1\}$;即令$S_1$合法后,$S_0$可在最后添加一个括号后合法。
同理,若$S_0$形如$S_1)$或$S_1]$,
$f[i][j]=min\{f[i][j],f[i][j-1]+1\}$;
无论$S_0$是什么情况,都有$f[i][j]=min\{f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]\},i≤k<j$;
即把序列分成两部分分别使其合法。
这样的时间复杂度为$O(n^3)$。
注意i要倒着循环,否则可能会出现某些情况还没计算就要使用的情况。
C++ Code:
#include<cstdio> #include<cstring> #define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b)) char s[120]; int f[120][120]; int main(){ scanf("%s",s+1); int n=strlen(s+1); memset(f,0,sizeof f); for(int i=1;i<=n;++i){ f[i][i]=1; for(int j=i+1;j<=n;++j)f[i][j]=0x3f3f3f3f; } for(int i=n;i;--i){ for(int j=i+1;j<=n;++j){ if(s[i]=='('&&s[j]==')'||s[i]=='['&&s[j]==']') f[i][j]=f[i+1][j-1]; if(s[i]=='('||s[i]=='[') f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j]+1); if(s[i]==')'||s[i]==']') f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+1); for(int k=i;k<j;++k) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]); } } printf("%d\n",f[1][n]); return 0; }