斜率优化学习笔记

发现自己傻傻分不清斜率优化和决策单调性→_→,被一些博客误导了。。于是总结一下。萌新们可以先写写[hnoi2008]玩具装箱,并不难。


  相信有心想学习斜率优化的同志们一定自己摸索着写过[hnoi2008]玩具装箱这道题吧,我刚开始学习斜率优化的时候,也是写了这个,然后似懂非懂的发现,好像斜率优化就是先证明决策单调性,然后再用单调队列维护一下什么的,这不就是套个模板的东西吗→_→。

  对于某一类型的dp方程$${f[i]=Min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i])}$$

  其中$a[x],b[x],c[x],d[x]$是关于$x$的函数,且$b$单增。$——————【1】$

  按照一贯的套路,先数学归纳法证明决策单调性。

  1.归纳假设:

    假设有${i}$前两个决策点${j,k(j<k)}$,且${k}$的决策要比${j}$好,即:

$${a[i]*b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]*b[k]+c[k]+d[i],j<k——————【2】}$$

  2.归纳推理:

    此时后面有状态${i+1}$,这里我们为了简单起见,不妨设${a[i+1]=a[i]-v,v>0}$,也就是${a}$单调递减。$${即证:a[i+1]*b[j]+c[j]+d[i+1] >= a[i+1]*b[k]+c[k]+d[i+1]}$$

$${(a[i]-v)*b[j]+c[j]+d[i+1] >= (a[i]-v)*b[k]+c[k]+d[i+1]}$$

$${化简得:a[i]*b[j]+v*b[k]+c[j] >= a[i]*b[k]+v*b[j]+c[k]}$$

$${~}$$

$${由【2】得:a[i]*b[j]+c[j] >= a[i]*b[k]+c[k]}$$

$${由【1】得:b[k]>b[j]}$$

$${又\because v>0}$$

$${\therefore v*b[k] >= v*b[j]}$$

$${得证}$$

  所以,决策单调性是存在的。我们将由决策单调性得出的式子展开,化成斜率式:

$${a[i]*b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]*b[k]+c[k]+d[i],j<k}$$

$${-a[i]>=\frac{c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}}$$

  记斜率$${slope(i,j)=\frac{c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}}$$

  然后发现这个东西很符合单调队列的尿性:

  1. ${-a[i]>=slope(q[l],q[l+1])}$。因为${q[l]}$在${q[l+1]}$之前加入,那么显然这个式子就表示${q[l]}$决策不如${q[l+1]}$优,我们可以将队首pop掉。
  2. ${slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)}$。假设我们在后面存在一个${a[t]}$使得${-a[t]>=slope(q[r-1],q[r])}$那么等到pop了${q[r-1]}$之后,${-a[t]}$一定也会${>=slope(q[r],i)}$,${q[r]}$也会被pop。所以说${q[r]}$实际上是无用的,我们可以直接将它pop掉。

  问题就这样优化到了${O(n)}$。

  回顾一下我们之所以可以使用斜率优化,是因为这个dp方程具有决策单调性;否则我们推不出斜率式。之后我们将决策单调性的式子变形为斜率式,当满足斜率式的时候就表明前一个决策不如后一个决策优,一切都是围绕着决策单调性开展的,可以说决策单调性是斜率优化的前提。(那是真的么,欲知后事,请看下文)

  现在我们换一个角度来考虑问题,刚刚是直接从”数“的角度进行了严谨的证明,那么我们现在从”形“的角度来意会。


  dp方程:$${f[i]=Min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i]),b[j]单增}$$

  我们这里沿用上面“数”的条件:${a}$单减,${b}$单增。

  移项:$${-a[i]*b[j]+f[i]=c[j]+d[i]}$$

  是不是很像直线的斜截式:${-a[i]}$为直线的斜率;直线过点:${(b[j],c[j]+d[i])}$;${f[i]}$即为直线在Y轴上的截距。

  

  可以看出,因为${f[i]}$要尽可能小,所以我们把之前小于${i}$的${j}$画在平面直角坐标系上,一如线性规划,把这条斜线自下往上平移时遇到的第一个点,即能使目前状态有最小值的点。于是我们需要维护一个下凸壳,把那些肯定不会贡献的点删掉。

  我们用一个单调队列维护这个凸壳,因为要保证凸壳的下凸性,所以我们显然可以得到单调队列pop队尾的条件:${slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)}$。

  考虑什么情况下pop队首元素(这里我们的讨论都是基于${f[i]}$取最小值的情况下的):

  1. 斜率${-a[i]}$单增(因为${a}$单减)。${-a[i]>slope(q[l],q[l+1])}$。
  2. 斜率不单调。无法pop队首,二分或者三分查找队列中的最优解。二分做法:假设你要在上凸包上二分找斜率为${k}$的切线。取中间的${mid}$号点,如果${mid+1}$存在且与${mid}$点的斜率小于${k}$,则${l=mid+1}$;如果${mid-1}$存在且与${mid}$点的斜率大于${k}$,则${r=mid-1}$;如果上面两条都不满足,则${mid}$就是切点。

  不错,你一定已经发现第一种情况所对应的维护方式不是跟之前所说“数”的单调队列维护方式一模一样吗,没错,其实这只是两种不同的解题方式所得出来的同样的结果

  两种方法各有优缺点吧,“形”的角度比较方便理解,对于更高深的cdq分治维护凸包可以比较清晰的了解。但是遇到复杂的dp方程以及决策单调性证明就得靠“数”了(比如国王饮水记),看情况使用吧。

  之前说的决策单调性是斜率优化的基础这句话其实并不严谨,像这种从图形角度来求解的斜率优化就并没有用到决策单调性。想一想如果能证明决策单调性,那么一定就是对${a}$和${b}$的单调性有要求的,否则的话就是什么斜率不单调啦,在凸包上二分啦什么的。

  这就是斜率优化啦。


小科普

  回顾之前斜率优化的运用,它必须要有一个前提条件:${b}$(横坐标)单增。而如果${b[j]}$不单调怎么办呢?还能不能用斜率优化呢?

  答案是可以的,我们需要使用CDQ分治或者splay来解决这个问题。


总结

  斜率单调暴力移指针
  斜率不单调二分找答案
  x坐标单调开单调队列
  x坐标不单调开平衡树|cdq分治


参考资料:

http://blog.sina.com.cn/s/blog_7a1746820100xztv.html

http://tieba.baidu.com/p/3671167462

http://blog.csdn.net/u010336344/article/details/52693858

 

posted @ 2016-10-28 23:03 MashiroSky 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏