斜率优化学习笔记

发现自己傻傻分不清斜率优化和决策单调性→_→，被一些博客误导了。。于是总结一下。萌新们可以先写写[hnoi2008]玩具装箱，并不难。

数

　　相信有心想学习斜率优化的同志们一定自己摸索着写过[hnoi2008]玩具装箱这道题吧，我刚开始学习斜率优化的时候，也是写了这个，然后似懂非懂的发现，好像斜率优化就是先证明决策单调性，然后再用单调队列维护一下什么的，这不就是套个模板的东西吗→_→。

　　对于某一类型的dp方程$${f[i]=Min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i])}$$

　　其中$a[x],b[x],c[x],d[x]$是关于$x$的函数，且$b$单增。$——————【1】$

　　按照一贯的套路，先数学归纳法证明决策单调性。

　　1.归纳假设：

　　　　假设有${i}$前两个决策点${j,k(j<k)}$，且${k}$的决策要比${j}$好，即：

$${a[i]*b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]*b[k]+c[k]+d[i]，j<k——————【2】}$$

　　2.归纳推理：

　　　　此时后面有状态${i+1}$，这里我们为了简单起见，不妨设${a[i+1]=a[i]-v,v>0}$，也就是${a}$单调递减。$${即证：a[i+1]*b[j]+c[j]+d[i+1] >= a[i+1]*b[k]+c[k]+d[i+1]}$$

$${(a[i]-v)*b[j]+c[j]+d[i+1] >= (a[i]-v)*b[k]+c[k]+d[i+1]}$$

$${化简得：a[i]*b[j]+v*b[k]+c[j] >= a[i]*b[k]+v*b[j]+c[k]}$$

$${~}$$

$${由【2】得：a[i]*b[j]+c[j] >= a[i]*b[k]+c[k]}$$

$${由【1】得：b[k]>b[j]}$$

$${又\because v>0}$$

$${\therefore v*b[k] >= v*b[j]}$$

$${得证}$$

　　所以，决策单调性是存在的。我们将由决策单调性得出的式子展开，化成斜率式：

$${a[i]*b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]*b[k]+c[k]+d[i]，j<k}$$

$${-a[i]>=\frac{c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}}$$

　　记斜率$${slope(i,j)=\frac{c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}}$$

　　然后发现这个东西很符合单调队列的尿性：

${-a[i]>=slope(q[l],q[l+1])}$。因为${q[l]}$在${q[l+1]}$之前加入，那么显然这个式子就表示${q[l]}$决策不如${q[l+1]}$优，我们可以将队首pop掉。
${slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)}$。假设我们在后面存在一个${a[t]}$使得${-a[t]>=slope(q[r-1],q[r])}$那么等到pop了${q[r-1]}$之后，${-a[t]}$一定也会${>=slope(q[r],i)}$，${q[r]}$也会被pop。所以说${q[r]}$实际上是无用的，我们可以直接将它pop掉。

　　问题就这样优化到了${O(n)}$。

　　回顾一下我们之所以可以使用斜率优化，是因为这个dp方程具有决策单调性；否则我们推不出斜率式。之后我们将决策单调性的式子变形为斜率式，当满足斜率式的时候就表明前一个决策不如后一个决策优，一切都是围绕着决策单调性开展的，可以说决策单调性是斜率优化的前提。（那是真的么，欲知后事，请看下文）

　　现在我们换一个角度来考虑问题，刚刚是直接从”数“的角度进行了严谨的证明，那么我们现在从”形“的角度来意会。

　　dp方程：$${f[i]=Min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i])，b[j]单增}$$

　　我们这里沿用上面“数”的条件：${a}$单减，${b}$单增。

　　移项：$${-a[i]*b[j]+f[i]=c[j]+d[i]}$$

　　是不是很像直线的斜截式：${-a[i]}$为直线的斜率；直线过点：${(b[j],c[j]+d[i])}$；${f[i]}$即为直线在Y轴上的截距。

　　可以看出，因为${f[i]}$要尽可能小，所以我们把之前小于${i}$的${j}$画在平面直角坐标系上，一如线性规划，把这条斜线自下往上平移时遇到的第一个点，即能使目前状态有最小值的点。于是我们需要维护一个下凸壳，把那些肯定不会贡献的点删掉。

　　我们用一个单调队列维护这个凸壳，因为要保证凸壳的下凸性，所以我们显然可以得到单调队列pop队尾的条件：${slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)}$。

　　考虑什么情况下pop队首元素（这里我们的讨论都是基于${f[i]}$取最小值的情况下的）：

斜率${-a[i]}$单增（因为${a}$单减）。${-a[i]>slope(q[l],q[l+1])}$。
斜率不单调。无法pop队首，二分或者三分查找队列中的最优解。二分做法：假设你要在上凸包上二分找斜率为${k}$的切线。取中间的${mid}$号点，如果${mid+1}$存在且与${mid}$点的斜率小于${k}$，则${l=mid+1}$；如果${mid-1}$存在且与${mid}$点的斜率大于${k}$，则${r=mid-1}$；如果上面两条都不满足，则${mid}$就是切点。

　　不错，你一定已经发现第一种情况所对应的维护方式不是跟之前所说“数”的单调队列维护方式一模一样吗，没错，其实这只是两种不同的解题方式所得出来的同样的结果。

　　两种方法各有优缺点吧，“形”的角度比较方便理解，对于更高深的cdq分治维护凸包可以比较清晰的了解。但是遇到复杂的dp方程以及决策单调性证明就得靠“数”了（比如国王饮水记），看情况使用吧。

　　之前说的决策单调性是斜率优化的基础这句话其实并不严谨，像这种从图形角度来求解的斜率优化就并没有用到决策单调性。想一想如果能证明决策单调性，那么一定就是对${a}$和${b}$的单调性有要求的，否则的话就是什么斜率不单调啦，在凸包上二分啦什么的。

　　这就是斜率优化啦。