【算法设计】最大子矩阵问题

一，最大子矩阵问题：
       给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。
Example：
 0 -2 -7  0 
 9  2 -6  2 
-4  1 -4  1 
-1  8  0 -2 
其中左上角的子矩阵：
 9 2 
-4 1 
-1 8 
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

  

二，分析       

子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵。

例如

它亦可用A(3;2)表示，显示除掉第3行和第2列的余下的矩阵。这两种方法比较常用，但还是没有标准的方法表示子矩阵。

以上为维基百科上给出的定义，感觉跟此题的定义不是一回事呢？

        我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？

        请先参考-->最大子段和问题
        这个问题与最大子段有什么联系呢？

  

 假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：

  | a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
  | a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  | ar1 …… ari ……arj ……arn    |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  | ak1 …… aki ……akj ……akn  |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  | an1 …… ani ……anj ……ann |


 那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
 (ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
 由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

三，源码

C++:

#include <iostream> using namespace std; int maxSubArray(int a[],int n) { int b=0,sum=a[0]; for(int i=0;i<n;i++) { if(b>0) b+=a[i]; else b=a[i]; if(b>sum) sum=b; } return sum; } int maxSubMatrix(int array[][3],int n) { int i,j,k,max=0,sum=-100000000; int b[3]; for(i=0;i<n;i++) { for(k=0;k<n;k++)//初始化b[] { b[k]=0; } for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值 { for(k=0;k<n;k++) { b[k]+=array[j][k]; } max=maxSubArray(b,k); if(max>sum) { sum=max; } } } return sum; } int main() { int n=3; int array[3][3]={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,5,6}}; cout<<"MaxSum: "<<maxSubMatrix(array,n)<<endl; }

java：

import java.util.Scanner; public class PKU_1050 { private int maxSubArray(int n,int a[]) { int b=0,sum=-10000000; for(int i=0;i<n;i++) { if(b>0) b+=a[i]; else b=a[i]; if(b>sum) sum=b; } return sum; } private int maxSubMatrix(int n,int[][] array) { int i,j,k,max=0,sum=-100000000; int b[]=new int[101]; for(i=0;i<n;i++) { for(k=0;k<n;k++)//初始化b[] { b[k]=0; } for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值 { for(k=0;k<n;k++) { b[k]+=array[j][k]; } max=maxSubArray(k,b); if(max>sum) { sum=max; } } } return sum; } public static void main(String args[]) { PKU_1050 p=new PKU_1050(); Scanner cin=new Scanner(System.in); int n=0; int[][] array=new int[101][101]; while(cin.hasNext()) { n=cin.nextInt(); for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<n;j++) { array[i][j]=cin.nextInt(); } } System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array)); } } }