洛谷1155 双栈排序（二分图染色）

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1155

（因为洛谷的格式问题所以不贴题目描述了）

【题目分析】

首先我们发现，对于所有输出的顺序，我们可以视作一个队列，所以b、d操作就可视作将stack1、stack2的栈顶元素弹入que的队尾，如果入队顺序可以为1-n，那么就可行，否则不行。

然后考虑顺序，这里结合二分图（非匹配）的思想，将1~n视作n个点，现在就要对这n个点进行黑白染色（分别代表两个集合），现在需要思考的就是如何将所有点分在两个集合中。

首先判断是否有解，考虑对于任意两个数a[i]和a[j]来说，它们不能压入同一个栈中的充要条件是什么(注意没有必要使它们同时存在于同一个栈中，只是压入了同一个栈)。实际上，这个条件p是:存在一个k，使得i<j<k且a[k]<a[i]<a[j]。

证明可以见本校学长的过程，传送门：https://blog.csdn.net/cdsszjj/article/details/78007241

有了这个条件我们就可以进行染色了，如果存在一个情况是i<j<k且a[k]<a[i]<a[j]，那么i和j肯定没法在同一个栈中，所以我们将i和j连边（注意i到j要连一条，同样j到i也要连一条）

考虑了有解之后就是寻找字典序最小的解，因为压入stack1的操作为a，所以我们希望编号小的节点优先压入stack1中，然后我们发现对于这样一个图，不同强连通分量之间的颜色是互不影响的，所以我们找到每一个强连通分量中编号最小的点将其压入stack1，染色为1，然后dfs一遍即可。

最后一点小优化：我们肯定不可能去枚举所有的i<j<k且a[k]<a[i]<a[j]，因为这样复杂度会上升到O(n^3)，所以我们用一个数组b记录预处理出的所有a[i]到a[n]的最小值，然后扫一遍看看是否满足b[i]<a[i]且a[i]<a[j]。

【代码~】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e3+10;
const int MAXM=2e6+10;

int n,m,cnt;
int head[MAXN],col[MAXN];
int nxt[MAXM],to[MAXM];
int a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
int stk1[MAXN],stk2[MAXN],top1,top2;
int minn[MAXN];

void add(int x,int y)
{
	cnt++;
	nxt[cnt]=head[x];
	head[x]=cnt;
	to[cnt]=y;
}


void dfs(int u)
{
	for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if(!c[v])
		{
			c[v]=3-c[u];
			dfs(v);
		}
		if(c[u]==c[v])
		{
			cout<<0;
			exit(0);
		}
	}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	  scanf("%d",&a[i]);
	minn[n]=a[n];
	for(int i=n-1;i>=1;--i)
	  minn[i]=min(minn[i+1],a[i]);
	for(int i=1;i<n-1;++i)
	  for(int j=i+1;j<n;++j)
	    if(a[i]<a[j]&&minn[j+1]<min(a[i],a[j]))
		  add(i,j),add(j,i);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	  if(!c[i])
	  {
	  	  c[i]=1;
	      dfs(i);
	  }
	int now=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(c[i]==1)
		{
		    stk1[++top1]=a[i];
		    cout<<"a ";
		}
		else
		{
			stk2[++top2]=a[i];
			cout<<"c ";
		}
		while(stk1[top1]==now||stk2[top2]==now)
		{
			if(stk1[top1]==now)
			{
				now++;
				top1--;
				cout<<"b ";
			}
			if(stk2[top2]==now)
			{
				now++;
				top2--;
				cout<<"d ";
			}
		}
	}
	return 0;
}