[BZOJ3244][NOI2013]树的计数

这题大家为什么都写O(NlogN)的算法呢？……

让本蒟蒻来写一个O(N)的吧……

 

首先还是对BFS序和DFS序重编号，记标好的DFS序为d[1..n]。令pos[x]为x在d[]中出现的位置，即pos[d[i]]=i。

然后还是要用到一个BFS序的分段对应一棵树的结论……然后我们考察一个分段方式的合法性：首先结点1是唯一的根必须要单独一段；其次，BFS序中一层的结点出现的顺序和DFS序中的顺序一定是相同的，因此对于任何的一段[l, r]，都有pos[l]<pos[l+1]<pos[l+2]<…<pos[r]；最后我们还需要考虑结点深度的约束，对于DFS序中两个相邻结点，后一个结点的深度至多比前一个结点大1。综上所述，我们得到了以下三条约束：

（1）结点1单独分为一段；

（2）对于任何一段[l, r]，pos[l]<pos[l+1]<pos[l+2]<…<pos[r]；

（3）记depth[i]为结点i的深度，则depth[d[i+1]]<=depth[d[i]]+1。

我们尝试转化上面3条约束。建立数组s[1..n-1]，s[i]=1当且仅当结点i和结点i+1分在不同的两段，否则s[i]=0。这样进行转化之后，以上三条约束变成了如下的形式：

（1）s[1]=1；

（2）若pos[i]>pos[i+1]，则s[i]=1；

（3）若d[i]<d[i+1]，则Σ{s[j] | j=d[i]..d[i+1]-1}<=1。

第一条转化是容易理解的。第三条转化也容易理解，因为s[d[i]]、s[d[i]+1]、…、s[d[i+1]-1]的和就等于结点d[i]和d[i+1]的高度差。当d[i]>d[i+1]时，由于d[i]的BFS序在d[i+1]后面，所以depth[d[i+1]]<=depth[d[i]]<depth[d[i]]+1。第二条的转化是把原先的描述反过来理解形成的，也就是说若pos[i]>pos[i+1]，那么结点i一定不满足约束，所以必须分为两段。可以证明这样的转化与原来的约束是等效的。

显然，1+Σs[i]就是树高。

我们考虑在O(N)时间内计算出树高的期望。约束1和约束2把一些s[i]固定为1，它们对s[]造成的影响可以非常容易地O(N)处理出来。然后考虑第三类约束，首先我们处理所有Σ{s[j] | j=d[i]..d[i+1]-1}=1的第三类约束，这类约束固定了一个区间的值（某一个s[i]=1，其余s[i]均为0）。这些值可以通过前缀和的处理技巧O(1)地打好固定标记，所以处理这些约束也是O(N)的。

最后我们剩下一些Σ{s[j] | j=d[i]..d[i+1]-1}=0的约束。由于每一个s[j]都是0，这意味着对于所有的j=l..r-1，都有pos[j]<pos[j+1]（否则处理第二类约束时会使得某个s[j]=1，从而不满足Σs[j]=0）。因此，我们有pos[l]<pos[l+1]<pos[l+2]<…<pos[r]。注意到这里l=d[i]而r=d[i+1]，所以pos[l]=i而pos[r]=i+1。也就是说这些剩下的约束其实都是一些形如i<i+1的恒成立的不等式，直接无视掉就好了。这样就处理完了所有的约束，最后我们还剩下一些位置没有被固定，这些位置取0或1均可，对答案的贡献就是0.5。

于是我们就可以O(N)地解决这个问题。代码异常的简洁，线段树什么的根本不用写嘛……

/**************************************************************
    Problem: 3244
    User: IcyF
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:216 ms
    Memory:6276 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
  
using namespace std;
  
#define rep(n) for (int i = 1; i <= n; ++i)
#define sum(l, r) (s[r] - s[l - 1])
  
const int MAXN = 200005;
int n, a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN], pos[MAXN], x[MAXN], s[MAXN], fix[MAXN];
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    rep(n) scanf("%d", a + i);
    rep(n) scanf("%d", b + i);
    rep(n) c[b[i]] = i;
    rep(n) a[i] = c[a[i]];
    rep(n) pos[a[i]] = i;
  
    x[1] = 1, ++fix[1], --fix[2];
    rep(n - 1)
        if (pos[i] > pos[i + 1])
            x[i] = 1, ++fix[i], --fix[i + 1];
    rep(n - 1)
        s[i] = s[i - 1] + x[i];
    rep(n - 1)
        if (a[i] < a[i + 1])
        {
            int t = sum(a[i], a[i + 1] - 1);
            if (t)
            {
                ++fix[a[i]];
                --fix[a[i + 1]];
            }
        }
  
    double ans = 0; int f = 0;
    rep(n - 1)
    {
        f += fix[i];
        if (f)
            ans += double(x[i]);
        else
            ans += 0.5;
    }
    printf("%.3lf\n", ans + 0.999);
    printf("%.3lf\n", ans + 1.0);
    printf("%.3lf\n", ans + 1.001);
    return 0;
}