约瑟夫环问题两解

继续笔试准备ing……分享一下昨天做到的其中一题,其实题目很老,也做过n遍了,但复习起来也是颇有韵味,同时还发现另一种妙解,感觉不错的。
问题描述:
      约瑟夫环问题(Josephus)
      用户输入M,N值,从1至N开始顺序循环数数,每数到M输出该数值,直至全部输出。写出C程序。(约瑟夫环问题 Josephus)

解法一(My Solution):
      思想:建立一个有N个元素的循环链表,然后从链表头开始遍历并记数,如果计数i==m(i初始为1)踢出元素,继续循环,当当前元素与下一元素相同时退出循环。
代码:

  1 /*
  2  约瑟夫环问题(Josephus)
  3  用户输入M,N值,从1至N开始顺序循环数数,每数到M输出该数值,直至全部输出。写出C程序。(约瑟夫环问题 Josephus)
  4  Code By Eric Yang 2009
  5  http://ericyang.cnblogs.com
  6 */
  7 #include <stdio.h>
  8 #include <stdlib.h>
  9 
 10 // 链表节点
 11 typedef struct _RingNode
 12 {
 13     int pos;  // 位置
 14     struct _RingNode *next;
 15 }RingNode, *RingNodePtr;
 16 
 17 // 创建约瑟夫环,pHead:链表头指针,count:链表元素个数
 18 void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count)
 19 {
 20     RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;
 21     int i = 1;
 22     pPrev = pHead;
 23     while(--count > 0)
 24     {
 25         pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
 26         i++;
 27         pCurr->pos = i;
 28         pPrev->next = pCurr;
 29         pPrev = pCurr;
 30     }
 31     pCurr->next = pHead;  // 构成环状链表
 32 }
 33 
 34 void PrintRing(RingNodePtr pHead)
 35 {
 36     RingNodePtr pCurr;
 37     printf("%d", pHead->pos);
 38     pCurr = pHead->next;
 39     while(pCurr != NULL)
 40     {
 41         if(pCurr->pos == 1)
 42             break;
 43         printf("\n%d", pCurr->pos);
 44         pCurr = pCurr->next;
 45     }
 46 }
 47 
 48 void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m)
 49 {
 50     RingNodePtr pCurr, pPrev;
 51     int i = 1;    // 计数
 52     pCurr = pPrev = pHead;
 53     while(pCurr != NULL)
 54     {
 55         if (i == m)
 56         {
 57             // 踢出环
 58             printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序
 59             pPrev->next = pCurr->next;
 60             free(pCurr);
 61             pCurr = pPrev->next;
 62             i = 1;
 63         }
 64         pPrev = pCurr;
 65         pCurr = pCurr->next;
 66         if (pPrev == pCurr)
 67         {
 68             // 最后一个
 69             printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序
 70             free(pCurr);
 71             break;
 72         }
 73         i++;
 74     }
 75 }
 76 
 77 int main()
 78 {
 79     int m = 0, n = 0;
 80     RingNodePtr pHead = NULL;
 81     printf("---------------Josephus Ring---------------\n");
 82     printf("N(person count) = ");
 83     scanf("%d"&n);
 84     printf("M(out number) = ");
 85     scanf("%d"&m);
 86     if(n <= 0 || m <= 0)
 87     {
 88         printf("Input Error\n");
 89         system("pause");
 90         return 0;
 91     }
 92     // 建立链表
 93     pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
 94     pHead->pos = 1;
 95     pHead->next = NULL;
 96     CreateRing(pHead, n);
 97 #ifdef _DEBUG
 98     PrintRing(pHead);
 99 #endif
100 
101     // 开始出圈
102     printf("\nKick Order: ");
103     KickFromRing(pHead, m);    
104     printf("\n");
105     system("pause");
106     return 0;
107 }
108 
解法二(From Net):
      思想:归纳为数学性问题。原文说的很好,还是直接Copy吧,因为搜索半天也没有找到原作者,所以无法添加引用地址了,如果这位大哥看到这里,请告知与我,小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:

 1 #include <stdio.h>
 2 int main()
 3 {
 4     int n, m, i, s = 0;
 5     printf ("N M = ");
 6     scanf("%d%d"&n, &m);
 7     for (i = 2; i <= n; i++)
 8     {
 9         s = (s + m) % i;
10     }
11     printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
12 }
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

相比之下,解法二的优越性不言而喻,同时说明数学确实很重要。
posted @ 2009-09-04 17:06 EricYang 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏