51nod 1136 欧拉函数
通式:
![](https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D344/sign=da2dc03b1a950a7b713548c03ed1625c/6a600c338744ebf88c69ff32def9d72a6059a7a7.jpg)
其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。
φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。
注意:每种质因数只一个。
比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂,
,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
![](https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D211/sign=8a21a419ac18972ba73a07cbd7cd7b9d/f9198618367adab410da834e8cd4b31c8701e4b1.jpg)
设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值
φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
性质:
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,
![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D140/sign=daa516337cec54e745ec1e1a89399bfd/bd3eb13533fa828b5d8406eefa1f4134970a5a1c.jpg)
特殊性质:当n为奇数时,
, 证明与上述类似。
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D96/sign=52a5c55ef1246b607f0ebe72eaf8e29d/8cb1cb134954092331f8f8739558d109b3de492e.jpg)
若n为质数则
![](https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D85/sign=31100df17bd98d1072d40134203fd0be/a5c27d1ed21b0ef404180353dac451da80cb3ece.jpg)
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e7; int p1(int n)//单值 O(根号n) { int res = n; for(int i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i == 0) { res = res /i * (i-1); for(;n%i==0;n/=i); } } if(n != 1) res = res/n*(n-1); return res; } int p[maxn]; void p2() //O(maxn)时间筛出欧拉函数的值 { for(int i=0;i<maxn;i++) p[i] =i; for(int i=2;i<maxn;i++) { if(p[i] == i) for(int j=i;j<maxn;j+=i) p[j] = p[j]/i*(i-1); } } int main() { int n; scanf("%d",&n); printf("%d\n",p1(n)); }