UVA11426 GCD - Extreme (II) —— 欧拉函数

 

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-11426

 

 

 

 

题意：

求 ∑ gcd(i，j)，其中 1<=i<j<=n 。

 

题解：
1. 欧拉函数的定义：满足 0<x<n 且 gcd(x,n) = 1 的x有euler[n]个。

2. 可以推论出：满足 0<2*x<2*n 且 gcd(2*x,2*n) = 2 的2*x同样有euler[n]个，推向一般：满足 0<k*x<k*n 且 gcd(k*x,k*n) = k 的k*x有euler[n]个。解释：其实就是对于n来说，在1~n-1内与它互质的数都乘上相应的倍数，同时n也乘上相应的倍数，因而他们的最大公约数也为乘上的倍数，但不管如何，个数没有改变，仍为euler[n]个，只不过是他们的值“放大”了罢。

3. 有了上述结论，就可以枚举每个欧拉函数euler[n]和系数k，然后进行统计。

 

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 4000001+10;

int euler[MAXN];
void getEuler()
{
    memset(euler, 0, sizeof(euler));
    euler[1] = 1;
    for(int i = 2; i<MAXN; i++) if(!euler[i]) {
        for(int j = i; j<MAXN; j += i)
        {
            if(!euler[j]) euler[j] = j;
            euler[j] = euler[j]/i*(i-1);
        }
    }
}

LL sum[MAXN];
void init()
{
    getEuler();
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    for(int i = 2; i<MAXN; i++)   // 枚举“单位”欧拉数
        for(int k = 1; i*k<MAXN; k++)   // 枚举倍数
            sum[i*k] += k*euler[i];

    for(int i = 2; i<MAXN; i++)
        sum[i] += sum[i-1];
}

int main()
{
    init();
    int n;
    while(scanf("%d", &n) &&n)
        printf("%lld\n", sum[n]);
}