硬币找零问题_动态规划_算法与数据结构

问题:

假设有n种面值不同的硬币,个个面值存于数组T[1:n]中,现在用这些硬币来找钱,各种硬币的使用个数不限;

求对于给定的钱数N,最少可以由几枚硬币组成,并输出硬币序列。

分析:

假设对于i = 1...N-1, 所需最少的硬币数Count(i) 已知, 那么对于N,所需的硬币数为Min( Count(i) + Count(N-i)) , i=1...N-1;

于是一个直观的方法是用递归计算。

但是,递归过程中,每次计算Count(i),都会重复计算 Count(1)....Count(i-1); 这样时间复杂度就是O(N2);

事实上,这是一个典型的动态规划问题,我们可以从1开始记录下每个钱数所需的硬币枚数,避免重复计算,为了能够输出硬币序列,我们还需要记录下每次新加入的硬币。

下面给出用动态规划解决此问题的递推式:

参数说明: 当只用面值为T[1],T[2],…T[n]来找出钱j时,所用的硬币的最小个数记为C(i,j),则C(i,j)的递推方程为:

clip_image002[1]

算法设计:

def  coinChange( values,valuesCounts,  money, coinsUsed): 
    #values    T[1:n]数组
    #valuesCounts   钱币对应的种类数
    #money  找出来的总钱数
    #coinsUsed   对应于目前钱币总数i所使用的硬币数目
    for cents in range(1, money+1):
        minCoins = cents     #从第一个开始到money的所有情况初始
        for kind in range(0, valuesCounts):
            if(values[kind] <=cents):
                temp = coinsUsed[cents - values[kind]] +1
                if(temp < minCoins):
                    minCoins = temp 
        coinsUsed[cents] = minCoins
        print('面值为:{0} 的最小硬币数目为:{1} '.format(cents, coinsUsed[cents]) )

if '__name__ = __main__':
    values = [ 25, 21, 10, 5, 1]
    money = 63
    coinsUsed= [0]*(money+1)
    len  = len(values)
    coinChange(values, len, money, coinsUsed)

输出结果:

Python 3.2 (r32:88445, Feb 20 2011, 21:29:02) [MSC v.1500 32 bit (Intel)] on CHENX, Threaded
>>> 面值为:1 的最小硬币数目为:1
面值为:2 的最小硬币数目为:2
面值为:3 的最小硬币数目为:3
面值为:4 的最小硬币数目为:4
面值为:5 的最小硬币数目为:1
面值为:6 的最小硬币数目为:2
面值为:7 的最小硬币数目为:3
面值为:8 的最小硬币数目为:4
面值为:9 的最小硬币数目为:5
面值为:10 的最小硬币数目为:1
面值为:11 的最小硬币数目为:2
面值为:12 的最小硬币数目为:3
面值为:13 的最小硬币数目为:4
面值为:14 的最小硬币数目为:5
面值为:15 的最小硬币数目为:2
面值为:16 的最小硬币数目为:3
面值为:17 的最小硬币数目为:4
面值为:18 的最小硬币数目为:5
面值为:19 的最小硬币数目为:6
面值为:20 的最小硬币数目为:2
面值为:21 的最小硬币数目为:1
面值为:22 的最小硬币数目为:2
面值为:23 的最小硬币数目为:3
面值为:24 的最小硬币数目为:4
面值为:25 的最小硬币数目为:1
面值为:26 的最小硬币数目为:2
面值为:27 的最小硬币数目为:3
面值为:28 的最小硬币数目为:4
面值为:29 的最小硬币数目为:5
面值为:30 的最小硬币数目为:2
面值为:31 的最小硬币数目为:2
面值为:32 的最小硬币数目为:3
面值为:33 的最小硬币数目为:4
面值为:34 的最小硬币数目为:5
面值为:35 的最小硬币数目为:2
面值为:36 的最小硬币数目为:3
面值为:37 的最小硬币数目为:4
面值为:38 的最小硬币数目为:5
面值为:39 的最小硬币数目为:6
面值为:40 的最小硬币数目为:3
面值为:41 的最小硬币数目为:3
面值为:42 的最小硬币数目为:2
面值为:43 的最小硬币数目为:3
面值为:44 的最小硬币数目为:4
面值为:45 的最小硬币数目为:3
面值为:46 的最小硬币数目为:2
面值为:47 的最小硬币数目为:3
面值为:48 的最小硬币数目为:4
面值为:49 的最小硬币数目为:5
面值为:50 的最小硬币数目为:2
面值为:51 的最小硬币数目为:3
面值为:52 的最小硬币数目为:3
面值为:53 的最小硬币数目为:4
面值为:54 的最小硬币数目为:5
面值为:55 的最小硬币数目为:3
面值为:56 的最小硬币数目为:3
面值为:57 的最小硬币数目为:4
面值为:58 的最小硬币数目为:5
面值为:59 的最小硬币数目为:6
面值为:60 的最小硬币数目为:3
面值为:61 的最小硬币数目为:4
面值为:62 的最小硬币数目为:4
面值为:63 的最小硬币数目为:3

算法复杂度:

在上述算法中,外层循环与j(变量:money)相关,内层循环与n相关(变量: valuesCounts).因此此算法的复杂度为:clip_image002[24]

posted on 2011-03-18 21:13 追求卓越 挑战极限 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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