Codeforces GYM 100803F 详解
GYM100803F解题分析
题目描述:
给出一个无向图，求出这个无向图中所有不同的MST里的公共边。
我的解法：
刚刚拿到这道题的时候我还是思考了好一会儿的，思考的方向大概就是在MST的性质这方面（虽然后来做完之后发现显然我的思路和题目的正解不沾边）。想了一会儿我感觉是时候找个窍门把这道题过掉了，发现数据十分的友好：N<=500 M<=50000。所以说暴力一下就可以了呀。
暴力的思路大概就是枚举每一条边，判断这条边是否是“不可替代”的。判断的方法就是去掉这条边（禁用这条边），然后用Kruskal跑一遍MST，如果得到的新MST的值和全图的MST的值是相同的，那么这条边一定对是可以被替换掉的。
但是这样乱搞的暴力一定是会超时的，于是开始考虑优化。这时候应该分析一下这个问题的实质，它的实质就是求出所有的MST的边集的交集嘛。所以说在枚举边的时候不需要枚举每一条边，只枚举在MST里的边就可以检验、剔除多余的答案了。时间复杂度n^2。
更优思路：
刚刚那发暴力，没什么技术含量。不过读完这份代码，我才明白自己和神犇的差距就在于神犇的脑中闪现了一个灵感，神犇写出来了，我的脑中闪现了一个灵感，……。
这份代码出自一个波兰神犇之手（但是讲真一开始看见变量名和函数名还以为是日本选手的代码..），变量名和函数名都非常的感人，不过对照另一份核心思路比较相似的代码之后，才稍微理解这份代码的核心思路。不过不得不说实现得相当的精致。
下面开始逐段分析这份代码：
这个选手把边表处理在map套vector
在解释如何处理传入函数的边集之前，我觉得这份代码的核心思路就是合并。具体为什么这么说，在下面几段代码的解释中就会慢慢观察出来。
在main函数中，把当前循环到的边集传入przerabiaj这个函数中去。第一个循环，把两端点所在的并查集不同的边放入一个叫做zostale的神秘的边集里面，且这个边集的格式为vector
这个被传进去的边集在szukaj_mostow中又被处理为邻接表的形式，存储为vector
这里需要注意的是，这个子图只包含权值为cena的边，但是这个图的端点和我一开始理解的端点已经不同了，在这个图里面被边连接的是一个个并查集，换句话说也就是图的几部分子图。在描述dfs之前，我觉得画一个图更能解决问题。（以sample3为例）
上图的第三个图中，已经加入的三条权值为3的边都是符合条件的，但是如何判断它们中的哪一个是不可替换的就成了这个算法的关键。前面已经说到了，这份代码的核心思路是合并，那么如果两个集合之间有多条边，那么之间的这所有边都不可能是不可替换的边。
如下图，集合（1，3）与集合（2）之间就有两条边相连，所以说这两条边都是可以相互替代的，有多条边的也是如此，这就是程序中dfs的作用——检查两个集合之间是否有多条权值相同的连接的边。而（2）与（4）之间只有一条边相连，所以不可替代。
总结：
这道题属于典型的不好想的那种（虽然我的暴力还是过了），但是这个思路还是要掌握的。而且我还特别惊异于这个波兰大神的代码结构，除了变量名和函数名之外，思路非常的清晰，而且对STL的运用还有性质的利用也是很熟练的。不管是代码实现还是思路，这道题对我来说都有很大的学习空间。
代码：
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define abs(a) ((a)<(0)?-(a):(a))
using namespace std;
struct Edge
{
int x,y;
int val;
}eage[50005];
int tot=0;
int head[505];
bool flag[50005];
void add(int x,int y,int z)
{
eage[++tot].x=x;
eage[tot].y=y;
eage[tot].val=z;
}
bool cmp(Edge a,Edge b)
{
return a.val<b.val;
}
int n,m;
int f[505];
int findit(int k)
{
if(f[k]==k) return k;
return f[k]=findit(f[k]);
}
int Kruskal(int del)
{
int res=0;
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++) if(i!=del)
{
int g1=findit(eage[i].x);
int g2=findit(eage[i].y);
if(g1!=g2)
{
cnt++;
f[g1]=g2;
res+=eage[i].val;
if(!~del) flag[i]=true;
}
if(cnt==n-1) break;
}
if(cnt==n-1) return res;
else return -1;
}
int ans_cnt=0;
int ans=0;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}
sort(eage+1,eage+1+m,cmp);
int MST=Kruskal(-1);
for(int i=1;i<=m;i++) if(flag[i])
{
int mst=Kruskal(i);
if(mst!=MST)
ans_cnt++,
ans+=eage[i].val;
}
printf("%d %d\n",ans_cnt,ans);
return 0;
}
