欧拉图 欧拉回路 欧拉通路 Euler
欧拉图
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定义：
欧拉回路：图G的一个回路，如果恰通过图G的每一条边，则该回路称为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。欧拉图就是从图上的一点出发，经过所有边且只能经过一次，最终回到起点的路径。
欧拉通路：即可以不回到起点，但是必须经过每一条边，且只能一次。也叫"一笔画"问题。
性质：
欧拉回路：一个欧拉回路，删掉一个点，仍然是一个欧拉回路。从一个欧拉回路移除一个小欧拉回路，剩下的图也是一个欧拉回路。
判定（充要）：
欧拉回路：1: 图G是连通的，不能有孤立点存在。
2: 对于无向图来说度数为奇数的点个数为0;对于有向图来说每个点的入度必须等于出度。
欧拉通路：1: 图G是连通的，无孤立点存在。
2: 对于无向图来说，度数为奇数的的点可以有2个或者0个，并且这两个奇点其中一个为起点另外一个为终点。对于有向图来说，可以存在两个点，其入度不等于出度，其中一个出度比入度大1，为路径的起点；另外一个入度比出度大1，为路径的终点。
算法（求欧拉回路）：
Fleury算法:
设图G是一个无向欧拉图，则按照下面算法求欧拉回路:
1:任取G中一个顶点 v0,令 p0 = v0.
2:假设沿路径 Pi = v0e1v1e2v2……eivi 走到了顶点 vi,按照下面方法从E(i) = E(G) - {e1, e2, e3,…,ei} 中选边 ei+1, 选择后删除 ei+1 这条边.
a):边 ei+1 与点 vi 关联
b):除非无别的边可选，否则 ei+1 不应是Gi = G – {e1,e2,…,ei} 中的桥.假若迫不得已选的是桥,除删除这条边之外,还应该再把孤立点从Gi中移除(选择桥边必然会形成孤立的点).
3:当步骤 2 无法继续执行时停止算法.
当算法停止时，所得到的简单回路 Pm = v0e1v1e2v2e3v3……emvm (vm = v0) 为图G的一条欧拉回路.
下面用图来描述：
随便选择一个起点 v1。当前处在 v1 点，有两种走法 v1 – v9,v1 – v10，这俩条边都不是桥边，那么随便选择一个，<v1, v10>这条边吧。那么图就会成为这样.Eu = (走过的边集){<v1, v10>}
当前到了 V10 点，有<v10,v4>,<v10,v3>,<v10, v8>，先看<v10,v8>这条边吧，如果选择了这条边那么图就会成为这样：
很显然形成了两个图，上下两个图不连通，即<v10, v8>这条边就是所谓的桥边，算法中说除非别无他选，否则不应该选择桥边，那么这条边就不能选择。回到上面，由于<v10,v4>,<v10,v3>都不是桥边，所以随便选择<v10,v4>吧. Eu={<v1, v10>,<v10,v4>}
到了 v4 这个点，<v4, v2>这条边是桥边,但是别无选择，只好选择这条边.选择完这条边这时不仅要从原图中删除这条边，由于点4成为了孤点，所以这个点也该从原图删除。Eu={<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2>}.
同理到达 v2 只好选择<v2,v3>，删除孤点 v2和边. Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3>}.
别无他选，<v3,v10>。Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3><v3,v10>}.
同样,选择<v10, v8>，Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3><v3,v10>,<v10,v8>}.
此时到了 v8 同第一次到达v10时的情况，不能选择<v8,v9>这条桥边,选择<v8,v6>,Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3><v3,v10>,<v10,v8>,<v8,v6>}.
到达v6，选择<v6,v7>,删点删边,Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3>,<v3,v10>,<v10,v8>,<v8,v6>,<v6,v7>}.以下就不给图了(逃;
然后接下来的选择都是别无他选,依次选择<v7,v8><v8,v9><v9,v1>，最后得到的欧拉边集Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3>,<v3,v10>,<v10,v8>,<v8,v6>,<v6,v7>,<v7,v8><v8,v9><v9,v1>},于是我们就得到了一条欧拉回路.
代码：
个人感觉时间复杂度不如基本法，主要是判断桥边的时间复杂度有点高，达到O(1)才和基本法一样，所以就放弃写了。
基本(套圈)法
首先从一个节点(v0)出发，随便往下走(走过的边需要标记一下，下次就别走了)，当走到不能再走的时候，所停止的点必然也是起点(因为所有的点的度数都是偶数，能进去肯定还会出来，再者中间有可能再次经过起点，但是如果起点还能继续走，那么就要继续往下搜索，直到再次回来时不能往下搜索为止)，然后停止时，走过的路径形成了一个圈，但因为是随便走的，所以可能有些边还没走就回来了，那些剩下的边肯定也会形成一个或者多个环，然后可以从刚才终止的节点往前回溯，找到第一个可以向其他方向搜索的节点(vi)，然后再以这个点继续往下搜索，同理还会继续回到该点(vi)，于是这个环加上上次那个环就构成了一个更大的环，即可以想象成形成了一条从 v0 到 vi的路径，再由 vi 走了一个环回到 vi，然后到达v0 的一条更长的路径，如果当前的路径还不是最长的，那么继续按照上面的方法扩展。只需要在回溯时记录下每次回溯的边，最后形成的边的序列就是一条欧拉回路。如果要记录点的顺序的话，那么每访问一个点，就把这个点压入栈中，当某个点不能继续搜索时，即在标记不能走的边是，这个点成为了某种意义上的孤点，然后把这个点输出最后得到的就是一条欧拉回路路径的点的轨迹。
总之，求欧拉回路的方法是，使用深度优先搜索，如果某条边被搜索到，则标记这条边为已选择，并且即使回溯也不能将当前边的状态改回未选择，每次回溯时，记录回溯路径。深度优先搜索结束后，记录的路径就是欧拉回路。
下面用图描述一遍：
假设我们选择从v1开始走,由于随便走，所以可能出现以下走法
第一步：v1 -- v9
第二步：v9 -- v8
第三步：v8 -- v10
第四步：v10 -- v1
此时由于走过的边不能再走，那么从 v1 就无法继续向下探索,所以往前回溯,记录边集Eu{<v1, v10>}，此时回溯到 v10 ,发现可以继续走，那么
第五步: v10 -- v3
第六步: v3 -- v2
第七步: v2 -- v4
第八步: v4 – v10
发现已经无路可走，那么继续回溯，记录回溯路径得到Eu{<v1,v10>, <v10, v4>, <v4, v2>, <v2, v3>, <v3, v10>, <v10, v8>}，此时回溯到了 v8.发现可以向其他方向搜索, 那么
第九步：v8 -- v6
第十步：v6 --v7
第十一步：v7-- v8
又无路可走，继续回溯Eu{<v1,v10>, <v10, v4>, <v4, v2>, <v2, v3>, <v3, v10>, <v10, v8>, <v8, v7>, <v7, v6>,<v6,v8>,<v8,v9>,<v9,v1>}，到这里整个DFS就结束了，我们得到的边集Eu就是一条欧拉回路。
具体实现与分析:
使用链式前向星和DFS实现寻找欧拉回路的算法，用链式前向星存无向边时每条边要存储两次。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 #include <stack> 5 #include <queue> 6 using namespace std; 7 8 const int MAXV = 100 + 7; 9 const int MAXE = 100 * 100 + 7; 10 int head[MAXV]; 11 int V, E; 12 13 typedef struct EdgeNode 14 { 15 int to; 16 int w; 17 int next; 18 }edgeNode; 19 edgeNode Edges[MAXE]; 20 21 bool visit[2 * MAXE]; 22 stack<int> stv; 23 queue<int> quv;//点集 24 queue<int> que;//边集 25 26 void EulerDFS(int now) 27 { 28 stv.push(now);//每访问一个点，就把该点压入栈 29 for(int k = head[now]; k != -1; k = Edges[k].next) 30 { 31 if(!visit[k]) 32 { 33 visit[k] = true; //有向图每条边保存了两次，也要标记两次 34 if(k & 1) 35 visit[k + 1] = true; 36 else 37 visit[k - 1] = true; 38 EulerDFS(Edges[k].to); 39 que.push(k);//回溯时记录边 40 } 41 } 42 quv.push(stv.top());//记录点 43 stv.pop(); 44 } 45 46 int main() 47 { 48 //freopen("in.txt", "r", stdin); 49 scanf("%d%d", &V, &E); 50 memset(head, -1, sizeof(head)); 51 for(int i = 1; i <= E; i++) 52 { 53 int u, v, w; 54 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 55 Edges[2 * i - 1].to = v; //双向储存边 56 Edges[2 * i - 1].w = w; 57 Edges[2 * i - 1].next = head[u]; 58 head[u] = 2 * i - 1; 59 Edges[2 * i].to = u; 60 Edges[2 * i].w = w; 61 Edges[2 * i].next = head[v]; 62 head[v] = 2 * i; 63 } 64 memset(visit, false, sizeof(visit)); 65 EulerDFS(1); 66 return 0; 67 }
