SPOJ COT2 Count on a tree II 树上莫队算法
题意：
给出一棵\(n(n \leq 4 \times 10^4)\)个节点的树，每个节点上有个权值，和\(m(m \leq 10^5)\)个询问。
每次询问路径\(u \to v\)上有多少个权值不同的点。
分析：
- 树分块
首先将树分块，每块的大小为\(\sqrt{n}\)左右。
然后将询问离线处理，按照区间上的莫队算法将询问按块排序。
这里有一道裸的树分块的题目。
- 树上的路径转移
定义\(S(u,v)\)表示路径\(u \to v\)上的点集，定义\(\bigoplus\)为集合的对称差，类似于异或运算。
那么有\(S(u,v)=S(root,u) \bigoplus S(root, v) \bigoplus LCA(u,v)\)，有一个\(LCA\)不方便处理。
再定义一个\(T(u,v)=S(root,u) \bigoplus S(root, v)\)
\(T(u_1, v_1) \bigoplus T(v_1, v_2)=S(root, u_1) \bigoplus S(root, v_1) \bigoplus S(root, v_1) \bigoplus S(root, v_2)\)
消去中间两项得到：\(T(u_1, v_1) \bigoplus T(v_1, v_2)=S(root, u_1) \bigoplus S(root, v_2)=T(u_1, v_2)\)
从结论可以看出，由\(T(u_1,v_1)\)到\(T(u_1, v_2)\)只需要\(\bigoplus\)一个\(T(v_1, v_2)\)。
由于对称差\(\bigoplus\)运算满足交换律和结合律，所以再\(\bigoplus\)一个\(T(u_1, u_2)\)就得到\(T(u_2,v_2)\)。
假设上次查询的路径为\(u \to v\)，我们维护点集\(T(u,v)\)的信息：\(in(u)\)点\(u\)是否在集合中，\(cnt(x)\)集合中权值为\(x\)点的个数，\(diff\)权值不同的点数。
查询的话如果\(LCA(u,v)\)的权值没有出现过，答案就是\(diff+1\)，否则就是\(diff\)。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 40000 + 10;
const int maxq = 100000 + 10;
struct Edge
{
int v, nxt;
Edge() {}
Edge(int v, int nxt): v(v), nxt(nxt) {}
};
int ecnt, head[maxn];
Edge edges[maxn * 2];
void AddEdge(int u, int v) {
edges[ecnt] = Edge(v, head[u]);
head[u] = ecnt++;
}
int n, m;
int a[maxn], b[maxn], tot;
int anc[maxn][20], dep[maxn];
int group[maxn], blocks, sz;
int S[maxn], top;
void dfs(int u) {
int cur = top;
for(int i = head[u]; ~i; i = edges[i].nxt) {
int v = edges[i].v;
if(v == anc[u][0]) continue;
anc[v][0] = u;
dep[v] = dep[u] + 1;
dfs(v);
if(top - cur >= sz) {
blocks++;
while(top != cur) group[S[top--]] = blocks;
}
}
S[++top] = u;
}
struct Query
{
int u, v, id;
bool operator < (const Query& t) const {
return group[u] < group[t.u] || (group[u] == group[t.u] && group[v] < group[t.v]);
}
}q[maxq];
void preprocess() {
for(int j = 1; (1 << j) < n; j++)
for(int i = 1; i <= n; i++) if(anc[i][j-1])
anc[i][j] = anc[anc[i][j-1]][j-1];
}
int LCA(int u, int v) {
if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
int log;
for(log = 0; (1 << log) < dep[u]; log++);
for(int i = log; i >= 0; i--)
if(dep[u] - (1<<i) >= dep[v]) u = anc[u][i];
if(u == v) return u;
for(int i = log; i >= 0; i--)
if(anc[u][i] && anc[u][i] != anc[v][i])
u = anc[u][i], v = anc[v][i];
return anc[u][0];
}
int cnt[maxn], dif, in[maxn];
void xorvertex(int u) {
if(in[u]) { cnt[a[u]]--; if(!cnt[a[u]]) dif--; }
else { cnt[a[u]]++; if(cnt[a[u]] == 1) dif++; }
in[u] ^= 1;
}
void xorpath(int u, int v) {
if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
while(dep[u] > dep[v]) { xorvertex(u); u = anc[u][0]; }
while(u != v) {
xorvertex(u); xorvertex(v);
u = anc[u][0]; v = anc[v][0];
}
}
int ans[maxq];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", a + i);
b[i] = a[i];
}
sort(b + 1, b + 1 + n);
tot = unique(b + 1, b + 1 + n) - b - 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, a[i]) - b;
ecnt = 0;
memset(head, -1, sizeof(head));
for(int i = 1; i < n; i++) {
int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
AddEdge(u, v); AddEdge(v, u);
}
sz = (int)sqrt(n);
dfs(1);
while(top) group[S[top--]] = blocks;
preprocess();
for(int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%d", &q[i].u, &q[i].v);
q[i].id = i;
if(q[i].u > q[i].v) swap(q[i].u, q[i].v);
}
sort(q + 1, q + 1 + m);
int u = 1, v = 1;
for(int i = 1; i <= m; i++) {
xorpath(u, q[i].u);
xorpath(v, q[i].v);
u = q[i].u, v = q[i].v;
int lca = LCA(u, v);
ans[q[i].id] = dif;
if(!cnt[a[lca]]) ans[q[i].id]++;
}
for(int i = 1; i <= m; i++) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}
