逆元

我们需要考虑如何求解线性方程ax≡b(mod m)。对于实数运算下的方程ax=b我们既然已经知道了a的倒数，那我们可以直接通过a的倒数乘b求得方程的解，如果在(mod m)的运算下，也有类似于a的倒数一样的数存在，方程就可以解了。如果存在ay≡1(mod m)我们把这样的数y叫做a的逆元，记作a^-1。如果能求解逆元，那么就有x=a^-1*xa=a^-1*b这样也就求出x了，由于方程ax≡1(mod m)等价于存在整数k使得ax=1+mk，因此可以推出ax-mk=1的x的问题，所以我们可以用扩展欧几里得算法extgcd(已在前文中说过)，同时也可以知道如果gcd(a,m)!=1，逆元是不存在的。

伪代码如下：

int mod_inverse(int a,int m){

int x,y;

extgcd(a,m,x,y);

return (m+x%m)%m;

}

如果a，m不互质那么ax≡b(mod m)就等价于(a/gcd(a,m))x≡(b/gcd(a,m))(mod m/gcd(a,m))

不难看出，如果b不含有gcd(a,m)时方程无解，在有解的情况下，我们有

x≡(a/gcd(a,m))^-1*(b/gcd(a,m))(mod m/gcd(a,m))

所以，原方程的解为x≡(a/gcd(a,m))^-1×(b/gcd(a,m))+(m/gcd(a,m))×k(mod m)

求逆元的话除了这种“定义法”，还可以用欧拉定理和费马小定理来求解