快速幂模板

引用:https://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3);}

11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^3}，也就是a¹*a²*a⁸ 

&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。 

>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了。

模板很短：

long long quick_mi(int a,int b)
{
    long long  ans=1;
    long long  base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1!=0)
        {
            ans=ans*base;    
        }    
           base=base*base;
           b=b>>1;
    }
    return ans; 
} 

其中要理解base*=base这一步：因为 base*base==base²，下一步再乘，就是base²*base²==base⁴，然后同理  base⁴*base⁴=base⁸，由此可以做到base-->base²-->base⁴-->base⁸-->base¹⁶-->base³².......指数正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a¹*a²*a⁸，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。