快速幂精讲+代码实现

普通求解幂的方法：

public int power(int a,int b){
        int res = 1;
        for (int i = 1; i <= b ; i++) {
            res *= a;
        }
        return res;
    }

是b个a累乘的结果，时间复杂度为O(n)。

 

而快速幂借助位权减小计算的时间复杂度，快速幂的事件复杂度为O(logn)。

快速幂的目的快速求幂，假设我们要求a^b,

假设我们要求a^b，把b转成二进制数，则该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当a == 2 ，b == 11时，b的二进制数为1011

　　　 a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3)}

            2¹¹=2^{(2^0+2^1+2^3)} =  2^{( 1*1 + 2*1 + 0*4 + 8*1 )} = 2 * 4 *1* 256

b的二进制从左到右的位权依次为1，2，4，8 , ... ,  2^(i-1)，连续位置之间的位权组成一个等比数列；

而每个位置位权与基数所代表的值之间，如果每个位置上的值都为1的话，后一位是前一位的2次方（为什么是2次方呢？因为b被转换成了2进制数）。

下面给出快速幂的非递归写法：

    public int FastPower1(int a, int b) {
        //假设a和b是大于等于0的数，那么在幂运算中，结果的最小值为1
        int result = 1;
        //为了便于理解，这里多申请一个变量，位权
        int base_pow_pisotionPower = a;
        while (b != 0) {
            if ((b & 1) != 0) {
                result *= base_pow_pisotionPower;
            }
            b >>= 1;
            base_pow_pisotionPower *= base_pow_pisotionPower;
        }
        return result;
    }

 下面给出递归写法：

public int FastPower(int a,int b){
        if (b==0) return 1;
        if (b==1) return a;
        int result = FastPower(a,b>>1);
        result *= result;
        if (b%2==1) result *= a;
        return result;
}