Fourier级数

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Fourier级数

函数的Fourier级数的展开

Euler--Fourier公式

我们探讨这样一个问题：
假设\(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{k}coskt+b_{k}sinkt\)

Euler--Fourier公式:

\(a_{0}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx\)
\(a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{d} x, \quad n=0,1,2, \cdots\)
\(b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-x}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{d} x, \quad n=1,2, \cdots\)

\[\int_{-\pi}^{\pi}cosmx=0 \]

\[\int_{-\pi}^{\pi}sinmx=0 \]

\[\int_{-\pi}^{\pi}sinnxcosmx=0 \]

\[\int_{-\pi}^{\pi}cosnxcosmx=0(n \neq m) \]

\[\int_{-\pi}^{\pi}cosnxcosmx=\pi(n = m)$$(n=m时，cos0x=1，$\rightarrow \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}1dx$) $$\int_{-\pi}^{\pi}sinnxcosmx=\pi(n = m)\]

利用三角公式：

\[cosmtcosnt=\frac{1}{2}[cos(m-n)t+cos(m+n)t] \]

正弦级数和余弦级数

注意奇函数如果在零点有定义的话，\(f(0)=0\)
\(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)\)
正弦级数表达式：$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}sinnx$$
同样余弦级数：$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}cosnx$$

Fourier级数习题：

1.1f(t)=\(\frac{A}{2}(sint+|sint|)\)展开的Fourier级数
(\(\int_{-\pi}^{\pi}|sint|dt=4\))
\(a_{0}=4 \times \frac{A}{2}\)
\(a_{n}\)=
\(\int_{-\pi}^{\pi}|sint|cosntdt\)
这里我们操作一下：$$a_{n}=\int_{0}^{\pi}sintcosntdt$$
学会利用三角变换：

\[sintcosnt=\frac{1}{2}[sin(t-nt)+sin(t+nt)] \]

也可以用分部积分法来计算

\[\frac{1}{n} \sin t \sin n t \bigg|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \cos t \sin n t \]

\[\frac{n^{2}-1}{n^{2}} \int_{0}^{\pi} \sin t \cos n t d t=\left.\frac{1}{n} \sin t \sin n t\right|_{0} ^{\pi}+\left.\frac{1}{n} \cos t \cos n t\right|_{0} ^{\pi} \]

\(a_{n}=\int_{0}^{\pi}sintcosntdt=-\frac{2(cos(n\pi+1))}{n^2-1}\)}(详细写的话，分为奇数和偶数)

\[\int_{0}^{\pi}sintcosntdt=-\frac{2(cos(n\pi+1))}{n^2-1} \]

\(b_{n}\)=
{\(\int_{-\pi}^{\pi}sintsinntdt+|sint|sinntdt\)}
注意\(\int_{-\pi}^{\pi}|sint|sinntdt\)=0(偶函数)

\[\int_{-\pi}^{\pi}sintsinntdt=-\frac{2sin(\pi n)}{n^2 -1}$$(n分奇偶数来考虑) f(t)=$A|sin t|$ 与1的类似：注意$a_{n}=0$ $$ f(x)=\left\{ \begin{aligned} 1 \quad x\in[-\pi,0),\\ 0 \quad x\in[0,\pi) \end{aligned} \right. $$的Fourier级数 $f(x)=sgn(x),x \in(-\pi,\pi)$展开成Fourier级数 sgn(x)为奇函数 $a_{0}=0,a_{n}=0$ 利用正弦公式$b_{n}=\int_{-\pi}^{0}-sin(nt)dt=\frac{1-cos(\pi n)}{n}$ $f(x)=\frac{x^{2}}{2}-\pi^{2}$ $f(x)$为偶函数，考虑$a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx$\\ $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}(\frac{x^{2}}{2}-\pi^{2})cosnxdx$ 先考虑$\int_{-\pi}^{\pi} \pi^{2}cosnxdx$,由于对应的原函数sinnx里面$sin n\pi =0$\\ 接下来我们考虑$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x^{2}}{2}cosnxdx$ 我们利用分部积分:$sinnx \frac{x^2}{2} \bigg|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xsinnxdx$ $\int_{-\pi}^{\pi}xsinnxdx$我们采用分部积分$-\frac{1}{n}xcosnx \bigg|_{\pi}^{\pi}=\frac{2cosnx}{n^{2}}$ $$ f(x)=\left\{ \begin{aligned} ax \quad x\in[-\pi,0),\\ bx \quad x\in[0,\pi) \end{aligned} \right. \]

正弦级数与余弦级数的习题：
\(f(x)=x(x \in[0,\pi])\)分别展开成正弦级数和余弦级数
正弦级数：
\(f(x)=e^{-2x},x\in[0,\pi]\)
\(b_{n}=\) {\(\int_{0}^{\pi}e^{-2x}sinnx dx\)}
=\(\frac{n-e^{-2 \pi}ncos(\pi n)}{n^2+4}\)

\[ f(x)=\left\{ \begin{aligned} cos\frac{\pi x}{2} \quad x\in[0,1),\\ 0 \quad x\in[1,2] \end{aligned} \right. \]

余弦级数：
\(f(x)=e^{x},x \in [0,\pi]\)
\(f(x)=x-\frac{\pi}{2}+|x-\frac{\pi}{2}|,x \in [0,\pi]\)

Fourier级数的收敛判别法

Fourier级数的性质

posted @ 2020-01-06 11:28  _OscarLi  阅读(1368)  评论(0)    收藏  举报