杭电1098Ignatius's puzzle

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x=x(5*x^12+13*x^4+k*a)，这个函数的形式直接就是费马小定理的形式

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1

对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用此定理分析：

（1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)

（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))

（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以13*x^4模5余3，k*a必须模5余2(k*a≡8(mod 13))

//杭电1098Ignatius's puzzle
#include<stdio.h>
int main()
{
    int k,i,flag;
    while(scanf("%d",&k)!=-1)
    {
        for(i=1;i<66;i++)
        {
            if(i*k%13==8&&i*k%5==2)
            {
                flag=i;
                break;
            }
            else
                flag=0;
        }
        if(flag)
            printf("%d\n",flag);
        else
            printf("no\n");
    }
    return 0;
}

 

（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有 k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)