6912. 【2020.12.01提高组模拟】数论(math)
GMOJ 6912 数论(math)
\(Description\)
求
\(Data\)
\(n, \ m \leq 10^7\)
\(Solution\)
一遇到数论题就捉瞎，所以还是要认真写一写，水平较低（危）。
首先 \([i \bot k][j \bot k]\) 显然与 \([ij \bot k]\) 等价，那么最后一个求和可以转化为 \(\sum \limits_{k = 1}^{ij}{[ij \bot k] k}\)。但它还是很丑，考虑更相减损法：若 \(gcd(x, y) = 1\)， 则 \(gcd(x, x - y) = 1\)，也就是说对于比 \(x\) 小且与它互质的数是成对出现的且它们的和等与 \(x\)
那么最后一个求和便可以转化为 \(\frac{1}{2}(ij\varphi{(ij)} + [ij = 1])\)，原式便转化为：
设 \(\gcd(i,j) = d\)，稍微化简一下：
有一个 \(\varphi(ij)\) 并不好做，考虑如何去掉此项，首先可以得到：\(\varphi(ij) = \frac{\varphi{(i) \varphi{(j)} d}}{\varphi{(d)}}\)
证明：
考虑 \(\varphi{(n)} = n \prod{\frac{p_i - 1}{p_i}}\)，设 \(\varphi{(i)} = i \prod{\frac{p_{i'} - 1}{p_{i'}}},\ \varphi{(j)} = j \prod{\frac{p_{j'} - 1}{p_{j'}}}\)，
那么 \(\varphi{(i)}\varphi{(j)} = \varphi{(i)} = ij \prod{\frac{p_{i'} - 1}{p_{i'}}} \prod{\frac{p_{j'} - 1}{p_{j'}}}\)，但是对于 \(i, \ j\) 共同的质因子会乘重，而重复的质因子恰好是 \(d\) 的质因子，
所以除以 \(\varphi{(d)} = d \prod{\frac{p_{k'} - 1}{p_{k'}}}\)，多除了 \(d\) 乘回去
代入原式得：
将 \(d\) 提前：
\([\gcd(i, j) = d]\) 显然利用莫比乌斯反演结论化简：
化简到这式子变得和谐了很多（也长了很多），但是仍然不方便求值唔，考虑提前 \(du\)，令 \(T = du\)：
这样子把式子分成了四个求和（一大三小），第二个第三个求和类似，可以预处理：
- 设 \(G(x) = \sum \limits_{x | i}{i \varphi{(i)}}\)，考虑如何预处理。
- 首先 \(G(x) = x \varphi{(x)}\)，然后考虑从小到大枚举质数 \(p\)，对于每个质数 \(p\)，我们从后往前枚举 \(x\)，每次 \(G(x) += G(xp)\)
- 比较显然这是对的，时间复杂度 \(O(n loglogn)\)
然后对于最后一个求和：
首先 \(d^{n + 1}\) 是完全积性函数，\(\varphi{(d)}\) 是积性函数，所以 \(\frac{1}{\varphi{(d)}}\) 也是积性函数，\(\mu{(\frac{T}{d})}\) 显然也是积性函数
设 \(F(d) = \sum \limits_{d | T}{\frac{d^{n + 1}}{\varphi{(d)}}{\mu{(\frac{T}{d})}}}\)，那么 \(F(d)\) 也是积性函数，那么我们思考是否能线性筛出 \(F(d)\)，首先可得：
-
\(F(1) = 1\)
-
\(F(p) = \frac{p^{n + 1}}{p - 1} - 1\)
-
\(F(p^c) = \frac{p^{c(n + 1)}}{p^c - p^{c - 1}} - \frac{p^{(c - 1)(n + 1)}}{p^{c - 1} - p^{c - 2}}\)
对于任意合数 \(d\)，设 \(d\) 的最小质因子为 \(p\)，指数为 \(c\)，那么 \(\gcd(p^c, \frac{d}{p^c}) = 1\)，由积性函数的定义可得 \(F(d) = F(\frac{d}{p^c})·F(p^c)\)，
考虑欧拉筛线性处理 \(p\)，同时可以得到 \(c\)，那么便可以线性处理出 \(F(d)\) 辣！
嗯没错我们做完了，最后补一句欧拉筛需要处理的东西：\(\varphi, \ \mu, F(d), \ p, \ c\)。\(1e7\) 比较大最好预处理逆元。
\(Code\)
#include <cstdio>
#define N 10000000
#define mo 998244353
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++ i)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; -- i)
#define min(x, y) (x < y ? x : y)
#define ll long long
int p[N + 1], c[N + 1], d[N + 1], mu[N + 1], phi[N + 1], inv[N + 1], f[N + 1], g[2][N + 1], mi[N + 1], vis[N + 1];
int n, m, tot = 0;
int Fast(int x, int k) {
int res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = 1ll * res * x % mo;
x = 1ll * x * x % mo;
k >>= 1;
}
return res;
}
void Initg(int t1, int t2) {
fo(i, 1, t2)
g[t1][i] = 1ll * phi[i] * i % mo;
fo(i, 1, tot) fd(j, t2 / p[i], 1)
(g[t1][j] += g[t1][j * p[i]]) %= mo;
}
void Init() {
inv[1] = 1;
fo(i, 2, n)
inv[i] = (ll) (mo - mo / i) * inv[mo % i] % mo;
f[1] = 1, mu[1] = 1, phi[1] = 1;
int x = 0, d1 = 0, mi1 = 0;
fo(i, 2, N) {
if (! vis[i]) {
p[ ++ tot ] = i, mu[i] = -1, phi[i] = i - 1, c[i] = d[i] = i;
f[i] = 1ll * (mi[i] = Fast(i, n + 1)) * inv[i - 1] % mo - 1;
}
fo(j, 1, tot) {
if (1ll * i * p[j] > N) break;
x = i * p[j];
vis[x] = 1;
if (i % p[j])
mu[x] = - mu[i], phi[x] = phi[i] * phi[p[j]];
else
mu[x] = 0, phi[x] = phi[i] * p[j];
d1 = c[i] == p[j] ? d[i] : 1, mi1 = c[i] == p[j] ? mi[i] : 1;
c[x] = p[j], d[x] = d1 * p[j];
if (x == d[x]) {
f[x] = (1ll * (mi[x] = 1ll * mi1 * mi[p[j]] % mo) * inv[d[x] - d1] % mo - 1ll * mi1 * inv[d1 - d1 / p[j]] % mo + mo) % mo;
} else {
f[x] = 1ll * f[d[x]] * f[x / d[x]] % mo;
}
if (i % p[j] == 0) break;
}
}
Initg(0, n), Initg(1, m);
}
int main() {
freopen("math.in", "r", stdin);
freopen("math.out", "w", stdout);
scanf("%d %d", &n, &m);
Init();
int ans = 0; int top = min(n, m);
fo(i, 1, top)
(ans += 1ll * g[0][i] * g[1][i] % mo * f[i] % mo) %= mo;
ans = 1ll * ans * inv[2] % mo + inv[2];
printf("%d\n", ans % mo);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号