2020.11.02【NOIP提高A组】模拟

GMOJ 2020.11.02提高组模拟

 

T1.6843移形换影

一道十分简单的模拟题，但是我的做法比较复杂，考场打+调了 \(1h\) 呜。

首先 \(0\) 与 \(2\) 的位置是不可调换的。考虑贪心地从左往右做：

1.当前位为 \(0\)，字典序一定最小，跳过

2.当前位为 \(1\)，往后找到最近的 \(0\) 并将其移到当前位前，要求 \(0\) 是最近的且与当前位之间没有 \(2\) 且剩余操作次数足够

3.当前位为 \(2\)，往后找到最近的 \(1\) 并将其移到当前位前，要求操作次数足够

链表维护即可。

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T2.6844旅途和生活

由数据范围提示可得：可以证明，若 \(a\), \(b\) 同为奇数，对于任意 \(n\) 对应的答案在取模前可以用 long long 保存。

所以对于 \(a\), \(b\) 同为奇数的情况，只需计算出 \(a^n - b^n\) 二进制下后63位（也就是 \(mod\) \(2^{63}\)），直接快速幂计算答案，可用 \(unsigned\) \(long\) \(long\) 避免高精度。

十分显然的是， 若 \(a\), \(b\) 奇偶性不同，则答案为 1。

对于 \(a\), \(b\) 为偶数，只需提出 \(2^c\) 使得 \(\frac{a}{2^c}\), \(\frac{b}{2^c}\) 中至少一个为奇数，分上面两种情况计算答案，最后乘回 \(2^c\)。

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T3.6845梯度弥散

看到数据范围 \(c = 0, 1, 2\) 就知道这一题是给人做的。

首先可以贪心地从左往右一位一位满足条件，所以考虑二分答案。

对于 \(c = 0\)，发现每次都是给一段连续的区间加上一个相同的数值，直接差分。

对于 \(c = 1\)，每次都是给一段连续的区间加上一个公差为 -1 的等差数列，差分公差，对于每一位需加上的值前缀和维护。

对于 \(c = 2\)，发现 \((x + 1)^2 - x^2\) 构成一个公差为 -2 的等差数列，按 \(c = 1\) 的方法维护等差数列，再计算出 \(x^2\) 即可。

一波套娃行为打得有点头晕，注意题面规定 \(0^0 = 1\)，考场因此炸了 \(10\) 分差评！

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T4.旅人1970

很遗憾考场没时间想了，拿到的 \(4\) 分的好成绩。

结论 \(1\) ：

若确定 \(i\) 为莫个划分集最小众数，则包含 \(i\) 的划分集有且只有一个。

证明 ：

若有多个划分集众数为 \(i\)，那么将其合并答案更小；若 \(i\) 在某个最小众数不为 \(i\) 的划分集中，那么将 \(i\) 提出来也不影响答案。

结论 \(2\) ：

一个划分方案合法当且仅当众数的 \(a_i\) 之和不小于最大的 \(a_i\)。

结论 \(2\) 应该比较显然，有了结论 \(2\)，我们就可以得出一个 \(O(nq)\) 的做法，每次选取一段最小前缀使得前缀和不小于 \(v\)（\(v\) 表示最大的 \(a_i\)），然后从大到小地删除前缀中的数：如果前缀和减去 \(a_i\) 仍满足条件，那么就删去 \(i\)，（比较显然的 \(2^i > \sum\limits_{j = 0}^{i - 1}{2^j}\)，所以可以从大到小贪心地删）

满分还有个结论 \(3\) 暂时没看懂唔，但做法总的来说就是在线段树上暴力寻找删除区间