Codeforces Round #542 [Alex Lopashev Thanks-Round] (Div. 1) D. Isolation

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题目大意

将一段长为 \(n\) 的序列 \(a\) 分为几个的非空段，每段中只出现一次的数的个数不得大于 \(k\)。
求方案数。

Solution

暴力比较显然，设 \(f[i]\) 表示以 \(i\) 作为一段结尾的方案数。
\(f[i]=\sum_{j=1}^{i-1}f[j]\) \((cnt(j+1,i)\leq k)\)
其中 \(cnt(j,i)\) 表示 \(j\) 到 \(i\) 中出现次数为 \(1\) 的数的个数。

然后考虑怎么优化，
可以发现，每次新加入一个数 \(a[i]\)，\(cnt\) 改变的是连段连续的区域，
设 \(s[j]\) 表示 \(cnt(j, i)\)，\(pre[i]\) 表示位置 \(i\) 前第一个 \(a[i]\) 的位置，
那么 \(pre[pre[i]] + 1 - pre[i]\) 的 \(s - 1\)，\(pre[i] + 1 - i\)的\(s + 1\)。

于是我们想到了暴力美学——分块。
（我的是比较劣的方法，时间复杂度大概是 \(O(n\sqrt{n}log(\sqrt{n}))\) 吧。）
设 \(tag[j]\) 表示块 \(j\) 全体元素的 \(s\) 需要改变的值。
以 \(s[i]\) 为关键字将块内元素排序。
每次加入 \(a[i]\)，就先更新之前的 \(s\)，整块就之间改变 \(tag\)，不完整的块就 \(rebuild\)。
更新 \(f[i]\)，对于 \(i\) 所在的块暴力枚举 \(i\) 之前的元素，
对于前面的块，可以加入\(f[i]\)的就是\(f[j]\) \((s[j] + tag[j所在的块] \leq k)\)，
由于块内元素已根据\(s[i]\)排序，那么我们用二分 + 前缀和维护就可以了。
最后答案是\(f[n]\)

然后无。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

#define N 100000
#define M 320
#define Mod 998244353

#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)

void read(int &x) {
    char ch = getchar(); x = 0;
    while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48, ch = getchar();
}

struct Arr { int x, y; } b[N + 1], c[M + 1];

int a[N + 1], s[N + 1], add[M + 1], pre[N + 1][2], num[N + 1];

int f[N + 1], sum[N + 1];

int n, m, tot, sq;

bool Cmp(Arr a, Arr b) { return a.x < b.x; }

int Max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }

int Min(int x, int y) { return x < y ? x : y; }

void Rebuild(int k, int l, int r, int ad) {
    fo(i, c[k].x, c[k].y) s[i] += add[k];
    fo(i, l, r) s[i] += ad;
    add[k] = 0;

    fo(i, c[k].x, c[k].y) b[i] = (Arr) { s[i], f[i - 1] };
    sort(b + c[k].x, b + 1 + c[k].y, Cmp);

    sum[c[k].x] = b[c[k].x].y;
    fo(i, c[k].x + 1, c[k].y) sum[i] = (sum[i - 1] + b[i].y) % Mod;
}

void Add(int l, int r, int ad) {
    fo(i, 1, tot) {
        if (c[i].x > r) break;
        if (c[i].y >= l && c[i].x <= r) {
            if (c[i].x < l) Rebuild(i, l, Min(c[i].y, r), ad);
            else if (c[i].y > r)  Rebuild(i, Max(i, c[i].x), r, ad);
            else (add[i] += ad);
        }
    }
}

int Get(int l, int r, int g) {
    int mid = 0, w = 0;
    while (l <= r) {
        mid = l + r >> 1;
        b[mid].x <= g ? l = (w = mid) + 1 : r = mid - 1;
    }
    return w;
}

int main() {
    freopen("isolation.in", "r", stdin);
    freopen("isolation.out", "w", stdout);

    read(n), read(m);
    fo(i, 1, n) read(a[i]);

    sq = sqrt(n); tot = n / sq + (n % sq > 0);
    fo(i, 1, n) num[i] = (i - 1) / sq + 1;
    fo(i, 1, n) if (num[i] > num[i - 1])
        c[num[i]].x = i, c[num[i - 1]].y = i - 1;
    c[num[n]].y = n;
    fo(i, 0, n) f[i] = 0;
    f[0] = 1;
    fo(i, 1, n) {
        int k = num[i];
        if (pre[a[i]][0]) {
            if (pre[a[i]][1] + 1 >= c[k].x) {
                fo(j, pre[a[i]][1] + 1, pre[a[i]][0]) -- s[j];
                fo(j, pre[a[i]][0] + 1, i) ++ s[j];
                Rebuild(k, 1, 0, 0);
            } else if (pre[a[i]][0] >= c[k].x) {
                Add(pre[a[i]][1] + 1, c[k].x - 1, -1);
                fo(j, c[k].x, pre[a[i]][0]) -- s[j];
                fo(j, pre[a[i]][0] + 1, i) ++ s[j];
                Rebuild(k, 1, 0, 0);
            } else {
                Add(pre[a[i]][1] + 1, pre[a[i]][0], -1), Add(pre[a[i]][0] + 1, c[k].x - 1, 1);
                fo(j, c[k].x, i) ++ s[j];
                Rebuild(k, 1, 0, 0);
            }
        } else {
            Add(1, c[k].x - 1, 1);
            fo(j, c[k].x, i) ++ s[j];
            Rebuild(k, 1, 0, 0);
        }
        pre[a[i]][1] = pre[a[i]][0], pre[a[i]][0] = i;
        fo(j, c[k].x, i) if (s[j] + add[k] <= m) (f[i] += f[j - 1]) %= Mod;

        fd(j, k - 1, 1) {
            if (b[c[j].x].x + add[j] <= m)
                (f[i] += sum[Get(c[j].x, c[j].y, m - add[j])]) %= Mod;
        }
        if (i == c[k].y) Rebuild(k, 1, 0, 0);
    }

    printf("%d\n", f[n]);

    return 0;
}