通信中的差分编码与解差分
通信中在使用QPSK调制时，为了避免收发端相干频率相位不一致，导致相位模糊，会在发送端对发送的bit数据进行差分编码，将绝对相位转为相对相位；同时在接收端对接收的符号进行解差分，将相对相位转换为绝对相位。
这是QPSK的星座映射图，QPSK+差分编码得到DQPSK。
1.下面讨论为什么要使用DQPSK
假如发送比特{b0，b1，b2，......，bk,.....，bn}（bk为2比特数据，每个QPSK星座点映射2bit）经过QPSK映射得到n个符号{a0，a1，a2，......，ak........，an}（an为复数bk={bk_i,bk_q}，复数才有相位）。映射得到的每个符号都有一个相位，比如11--->(1,1)，相位为∏/4。这是映射得到的绝对相位，在将映射的符号发送出去还要进行载波调制，即sk=ak*e（j2piw+θ），接收端接收到信号要去掉载波，得到映射符号，去掉的方式一般采用相干解调，即rk=sk*e-（j2piw+φ），当θ=φ时rk=ak，即还原了发送端的符号，然而实际情况中，接收端进行相干解调的信号相位不会与发送端的一样，这样就导致不能还原发送的符号。然而我们会发现每个接收符号都会加入j(θ-φ)的相位，如果将前后两个接收符号的相位相减就能消除这个未知的相位，这个特点让我们找到了解决这个问题的出路——差分编码。
2.差分编码
差分编码的公式如下：
c0 = a0;
ck = ck-1*ak ,k>0;（这些都是复数，映射后的符号）
即第一映射符号就是第一个差分符号，第k个差分编码符号等于k-1个差分编码符号乘第k个映射符号。即ck的相位是 在ck-1的基础上加入了ak 的相位，所以ck与ck-1的相位差是ak的相位。
3.解差分。
解差分的公式如下：
a0 = s0;
ak =*sk *(sk-1)*,k>0;（这些都是复数，映射后的符号，a*表示取共轭）
上面已经分析过，由于收发端载波相位不一致，即θ≠φ时，rk=sk*e-（j2piw+φ）=ak*ej(θ-φ)=|a|ejβ*ej(θ-φ)，（假设ak=|a|ejβ）接收的数据相位错误，（数据信息存在于相位中，即接收数据错误），会在接收的数据上叠加一固定的相位。经过差分编码后的数据ck 是在前一个差分编码的ck-1上叠加了ak 的相位，同求ck与ck-1的相位差就可以得到ak 的相位，即ak=ck*(ck-1)*。如果θ≠φ，rk*(rk-1)*=ejβ*ej(θ-φ)*e-jξ*e-j(θ-φ)=ej(β-ξ),(假设幅度都为1，rk的相位为β，rk-1的相位为ξ)。这样得到了ck与ck-1的相位差，也就是ak 的相位，把ak 的相位还原了，解决了相位模糊的问题。
4.差分编码扩展
采用(2,3)中的差分编码和解差分方式无法还原a0的相位，为了解决这个问题，工程实现中不是在bit数据映射成符号后再进行差分编码，而是在bit数据映射前进行差分编码，这样可以减少差分编码的复杂度，同时增加1bit冗余的bit解决第一个符号无法还原的问题（其实第一个符号也不能还原，只是第一个符号插入无效的数据，接收端不care）：
编码前： 0100101
编码后：00111001
首先添加一个冗余数据（0和1都可以，无所谓，上面添加的是0），添加的0与未编码的第一个bit相比较，两个数据相同，得到第一个bit数据0（第一个绿色的0，通过编码前的第一个数据0,（红色）与冗余数据0（红色）得到。）后续的将编码得到的数据与后续未编码的数据相比较，相同则得到编码数据0，不相同则得到未编码的数据1。
5.有的差分编码和解差分中会加入一个固定的旋转。
差分编码的公式如下：
c0 = a0;
ck = ck-1*ak （1/2+1j/2）,k>0;（这些都是复数，映射后的符号）
解差分的公式如下：
a0 = s0;
ak =*sk *(sk-1)* *（1/2-1j/2）,k>0;（这些都是复数，映射后的符号，a*表示取共轭）
工作中对7比特的随机复数进行差分编码，发现死活解差分都不对，后来发现是由于数据中有复数（0，0），且差分编码时，数据相乘后进行的截位也会导致复数（0，0）的大量出现。在差分编码中要求编码后的数据得有相位，然而（0，0）中没有相位，也就违背了相位差的基础，当然没法解差分。解决办法就是避免差分编码前和差分编码后的数据有（0，0），不使用随机复数进行差分编码，使用QPSK映射后的数据进行差分编码（BPSK的数据也可以）
这些是工作中遇到差分编码和解差分的实际问题才领悟到大学里学的东西，当时上学的时候压根就不理解为什么要使用差分编码，为什么要使用bit的差分编码是那样的。现在的理解也有可能不正确，望各个大侠指教！
