「学习笔记」大数翻倍法

这种做法是 \(\text{zhx}\) 所讲的一种很暴力的求解中国剩余定理的方法，%%%

我们前面说过中国剩余定理，就是像这样的同余方程组

\[\begin{cases} & x \equiv 2 \quad \pmod 3\\ & x \equiv 3 \quad \pmod 5\\ & x \equiv 2 \quad \pmod 7 \end{cases} \]

按照一般的做法，要用扩展欧几里得算法，但是除了扩展欧几里得算法，我们还要记住一些式子，万一考试考到，而你恰好又忘了，怎么办？
那就记住这个暴力的做法吧！
对于如下的两个同余方程组

\[\begin{cases} & x \equiv a_1 \quad \pmod {p_1}\\ & x \equiv a_2 \quad \pmod {p_2} \end{cases} \]

简单来说，就是找一个 \(x\)，满足除以 \(p_1\) 余数是 \(a_1\) 且 除以 \(p_2\) 余数是 \(a_2\)
那我们先设 \(x = a_1\)，这样第一个式子就解决了
现在，我们循环判断 \(x\) 是否满足除以 \(p_2\) 余数是 \(a_2\)，如果不满足，那么 \(x\) 就加上 \(p_1\)，这样可以保证第一个式子一直成立，到最后，我们就能找到符合要求的 \(x\)，并且 \(x \equiv a \pmod {\operatorname{lcm}(p_1, p_2)}\)，这个 \(a\) 我们可以直接算出来，下面以此类推，复杂度为 \(O_{p_2}\)，为了降低复杂度，我们只需要判断一下 \(p_1\) 和 \(p_2\) 谁更小，然后通过 swap 把 \(p_2\) 变成小的那个数，即复杂度变成了 \(O_{\min(p_1, p_2)}\)
根据代码来理解或许更好理解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 15;

ll n, ans;

ll gcd(ll p1, ll p2) {
	if (!p2)	return p1;
	return gcd(p2, p1 % p2);
}

ll lcm(ll p1, ll p2) {
	return p1 / gcd(p1, p2) * p2;
}

void merge(ll &a1, ll &p1, ll a2, ll p2) { // O(min(p1, p2))
	if (p1 < p2) {
		swap(a1, a2);
		swap(p1, p2);
	}
	while (a1 % p2 != a2) {
		a1 += p1;
	}
	p1 = lcm(p1, p2);
	ans = a1, a1 = a1 % p1;
}

int main() {
	scanf("%lld", &n);
	ll v = 0, p = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		ll a, b;
		scanf("%lld%lld", &a, &b);
		merge(v, p, b, a);
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}