「学习笔记」数论分块
引入
给定 \(n \le 10^{10}\)，求 \(\sum_{i = 1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)
我们可以想到枚举，但是 \(n \le 10^{10}\)，你 \(T\) 飞了
怎么办呢？
我们先举几个小的例子，例如 \(n \le 10\)
| \(i\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) | \(10\) | \(5\) | \(5\) | \(2\) | \(2\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
相信看到这，你就发现了，这一整个数列被分成了若干段，每段的长度以及所代表的答案都不同，但是我们可以直接算出来，\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 是这个答案所代表的值，\(\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor\) 是这个答案的块的右端点，\([l, r] = [l, \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor]\)
下面是一些结论与推导
结论：\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 最多有 \(2 \sqrt n\) 种不同的值
证明：
\(1\)、当 \(1 \le i \le \sqrt n\)，\(i\) 有 \(\sqrt n\) 种，所以 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 最多有 \(\sqrt n\) 种不同的值
\(2\)、当 \(i > \sqrt n\)，\(1 \le \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \le \sqrt n\)，\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 也最多有 \(\sqrt n\) 种不同的值
所以加起来，\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 最多有 \(2 \sqrt n\) 种不同的值
\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 最多有 \(2 \sqrt n\) 种不同的值，我们只需要找到每种值有多少个即可，就能在 \(O_{\sqrt n}\) 的时间复杂度内算出 \(\sum_{i = 1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 的值
每种值的个数有多少个呢？
假设 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = k\)，找出了多少个 \(i\)，使得 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = k\)
设 \(\lfloor \frac{n}{s} \rfloor = k\)，\(\lfloor \frac{n}{s'} \rfloor = k\)，\(s\) 是满足 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = k\) 的最小值，\(s'\) 是满足 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = k\) 的最大值
令 \(s' = s + d\)，所以 \(\lfloor \frac{n}{s} \rfloor = \lfloor \frac{n}{s + d} \rfloor = k\)
\(n = k \times s + p = k \times (s + d) + p'\quad (0 \le p < s, 0 \le p' < s + d)\)
\(k \times s + p = k \times (s + d) + p'\)
\(k \times d = p - p'\)
所以 \(d_{\max} = \lfloor \frac{p}{k} \rfloor\)
所以 \(s' = s + d_{\max}\)
所以 \(s' = \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} \rfloor\)
有多少个数呢？
\(s' - s\) 个
\(End.\)
