【BZOJ3456】轩辕朗的城市规划 EGF+多项式求ln

我们构造$f(i)$和$g(i)$。

其中$f(x)$表示由$x$个节点构成的无向简单连通图的个数。

$g(x)$表示有$x$个节点构成的无向简单图（不要求连通）的个数。

显然，由$x$个节点构成的无向简单图最多能有$\binom{x}{2}$条边，那么$g(x)=2^{\binom{x}{2}}$。

然后我们构造$f(x)$和$g(x)$的$EGF$：

$F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} f(i) \times \frac{x^i}{i!}$。

$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} g(i) \times \frac{x^i}{i!}\ =\sum_{i=0}^{\infty} 2^{\binom{x}{2}} \times \frac{x^i}{i!}$。

然后我们又不难发现，$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{F(x)^i}{i!}$。（这个式子可以这样理解：图中包含$1$个联通块的生成函数为$F(x)$，包含$2$个连通块的生成函数为$\frac{1}{2}F^2(x)$，包含$3$个连通块的生成函数为$\frac{1}{3!} F^3(x)$，以此类推）

考虑到$e^x$的泰勒展开式为$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$，则 $G(x)=e^{F(x)}$。

由于多项式$G(x)$我们已经求得，则$F(x)=ln(G(x))$。

则答案为$[x^n]F(n) \times n!$。

考虑到多项式求ln的时间复杂度为O(n long n)，则该算法的时间复杂度为O(n log n)。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define M (1<<19)
#define L long long
#define G 3
#define MOD 1004535809
using namespace std;

L pow_mod(L x,L k){
    L ans=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=ans*x%MOD;
        x=x*x%MOD; k>>=1;
    }
    return ans;
}

void change(L a[],int n){
    for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=n>>1;
        while(j>=k) j-=k,k>>=1;
        j+=k;
    }
}
void NTT(L a[],int n,int on){
    change(a,n);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1){
        L wn=pow_mod(G,(MOD-1)/h);
        for(int j=0;j<n;j+=h){
            L w=1;
            for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
                L u=a[k],t=a[k+(h>>1)]*w%MOD;
                a[k]=(u+t)%MOD;
                a[k+(h>>1)]=(u-t+MOD)%MOD;
                w=w*wn%MOD;
            }
        }
    }
    if(on==-1){
        L inv=pow_mod(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
        reverse(a+1,a+n);
    }
}

void getinv(L a[],L b[],int n){
    if(n==1){b[0]=pow_mod(a[0],MOD-2); return;}
    static L c[M],d[M];
    memset(c,0,M<<3); memset(d,0,M<<3);
    getinv(a,c,n>>1);
    for(int i=0;i<n;i++) d[i]=a[i];
    NTT(d,n<<1,1); NTT(c,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=(2*c[i]-d[i]*c[i]%MOD*c[i]%MOD+MOD)%MOD;
    NTT(b,n<<1,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) b[i+n]=0;
}

void qiudao(L a[],L b[],int n){
    for(int i=1;i<n;i++) b[i-1]=a[i]*i%MOD;
}
void jifen(L a[],L b[],int n){
    for(int i=0;i<n;i++) b[i+1]=a[i]*pow_mod(i+1,MOD-2)%MOD;
}

void getln(L a[],L b[],int n){
    static L inva[M],pia[M];
    memset(inva,0,M<<3); memset(pia,0,M<<3);
    getinv(a,pia,n); qiudao(a,inva,n); 
    NTT(pia,n<<1,1); NTT(inva,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++) pia[i]=pia[i]*inva[i]%MOD;
    NTT(pia,n<<1,-1);
    jifen(pia,b,n);
}

L a[M]={0},f[M]={0};
L fac[M]={0},invfac[M]={0};

int main(){
    fac[0]=1;
    int n; scanf("%d",&n);
    int nn=1; while(nn<=n) nn<<=1;

    for(int i=1;i<nn;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    invfac[nn-1]=pow_mod(fac[nn-1],MOD-2);
    for(int i=nn-2;~i;i--) invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%MOD;

    for(L i=0;i<nn;i++) a[i]=pow_mod(2,i*(i-1)/2)*invfac[i]%MOD;
    getln(a,f,nn);
    
    printf("%lld\n",f[n]*fac[n]%MOD);
}