【NOIP2016提高组】 Day2 T1 组合数问题

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822                 ↓题目大意↓

数据的极限范围：n,m≤2000，k≤21，数据组数≤10000。

由于此题k不大于21，故在计算组合数Cij时，并不需要存储它的真实数值，只需要存储其≤19的所有素因子的个数，判断Cij是否为k的倍数，仅需要判断Cij中各素因子的个数是否大于等于k中的个数即可。基于组合数的性质，我们如果要求出Cij,我们可以通过Ci(j-1)乘上i-j+1然后再除以j即可得到。

下面来考虑如何乘以或除以一个数x。若需要在Ci(j-1)的基础上乘以x，可以考虑将x分解质因数，仅将其≤19的全部素因子与Ci(j-1)的素因子个数进行累加。除法同理，加法改成减法即可。

最后维护一个二维数组b。若b[i][j]=1，则表示Cij是k的倍数。输入n,m时，将b[1..n][1..m]进行累加即可得出答案。很明显这么操作依然会TLE，使用另一数组维护b[i][j]的前缀和即可。

时间复杂度为O(n*m+T)。 但常数很大（本地均为0.3s左右）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define M 2000
using namespace std;
int p[]={2,3,5,7,11,13,17,19};
struct cg{
    int a[8];
    cg(){memset(a,0,sizeof(a));}
    cg(int x){
        for(int i=0;i<8;i++) 
        while(x%p[i]==0) a[i]++,x/=p[i];
    }
    friend cg operator *(cg a,int x){
        for(int i=0;i<8;i++) 
        while(x%p[i]==0) a.a[i]++,x/=p[i];
        return a;
    }
    friend cg operator /(cg a,int x){
        for(int i=0;i<8;i++) 
        while(x%p[i]==0) a.a[i]--,x/=p[i];
        return a;
    }
    friend bool operator +(cg a,int x){
        cg c=a;
        for(int i=0;i<8;i++) 
        while(x%p[i]==0){
            c.a[i]--;x/=p[i];
            if(c.a[i]<0) return 0;
        } 
        return 1;
    }
}a[M+10][M+10];
int b[M+10][M+10]={0},k;

void init(){
    for(int i=1;i<=M;i++){
        int zhi=i>>1;
        for(int j=1;j<=zhi;j++)
        a[i][j]=a[i][i-j]=a[i][j-1]*(i-j+1)/j;
    }
    for(int i=1;i<=M;i++){
        int zhi=i>>1;
        for(int j=1;j<=zhi;j++){
            b[i][j]=b[i][i-j]=a[i][j]+k;
        }
    }
    for(int i=1;i<=M;i++)
    for(int j=1;j<=M;j++){
        b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1]+b[i][j];
    }
}

int main(){
    freopen("problem.in","r",stdin);
    freopen("problem.out","w",stdout);
    int cas; cin>>cas>>k;
    init();
    while(cas--){
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",b[x][y]);
    }
}