【xsy2978】Product of Roots 生成函数+多项式ln+多项式exp
题目大意：给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$，满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$，$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$。
现在给你一个多项式$h(x)$，满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$
请输出多项式$h$的前$k$项，在模$998244353$意义下进行。
数据范围：$n,m≤10^5$。
我们现在有:
$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$
我们在等式两边都取对数，然后泰勒展开，得到：
$\begin{align} ln \big(f(x)\big) =&\sum\limits_{i=1}^{n} ln(a_i+1) \\=&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^ka_i^{k}\end{align}$
我们不难推出：
$[x^k]ln(f(x))=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}$
$g(x)$同理。
我们现在来考虑$h(x)$，我们现在有：
$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$
和上面一样，我们在等式两边都取对数，然后泰勒展开，得到：
$\begin{align}
ln\big(h(x)\big) =&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ln(a_ib_j+1)\\
=&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^ka_i^{k}b_j^{k}\\
=&\sum\limits_{k=1}^{\infty}x^k \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} b_i^{k}\\
=&\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(-1)^{k+1}}x^k \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{(-1)^{k+1}}{k}b_i^{k}\\
\end{align}$
我们不难推出：
$\begin{align}[x^k]ln(h(x))=&\frac{k}{(-1)^{k+1}} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{(-1)^{k+1}}{k}b_i^{k}\\
=&\frac{k}{(-1)^{k+1}}[x^k]ln\big(f(x)\big)[x^k]ln\big(g(x)\big)
\end{align}$
我们可以考虑，用多项式求$ln$，求出$ln\big(f(x)\big)$和$ln\big(g(x)\big)$，然后求出$ln(h(x))$后再用多项式$exp$算回去，就得到多项式$h$了。
套一个多项式的板子就可以了。
完结撒花
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define M (1<<19) 3 #define L long long 4 #define MOD 998244353 5 #define G 3 6 using namespace std; 7 8 L pow_mod(L x,L k){ 9 L ans=1; 10 while(k){ 11 if(k&1) ans=ans*x%MOD; 12 x=x*x%MOD; k>>=1; 13 } 14 return ans; 15 } 16 17 void change(L a[],int n){ 18 for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){ 19 if(i<j) swap(a[i],a[j]); 20 int k=n>>1; 21 while(j>=k) j-=k,k>>=1; 22 j+=k; 23 } 24 } 25 void NTT(L a[],int n,int on){ 26 change(a,n); 27 for(int h=2;h<=n;h<<=1){ 28 L wn=pow_mod(G,(MOD-1)/h); 29 for(int j=0;j<n;j+=h){ 30 L w=1; 31 for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){ 32 L u=a[k],t=w*a[k+(h>>1)]%MOD; 33 a[k]=(u+t)%MOD; 34 a[k+(h>>1)]=(u-t+MOD)%MOD; 35 w=w*wn%MOD; 36 } 37 } 38 } 39 if(on==-1){ 40 L inv=pow_mod(n,MOD-2); 41 for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD; 42 reverse(a+1,a+n); 43 } 44 } 45 46 void getinv(L a[],L b[],int n){ 47 if(n==1){b[0]=pow_mod(a[0],MOD-2); return;} 48 static L c[M],d[M]; 49 memset(c,0,n<<4); memset(d,0,n<<4); 50 getinv(a,c,n>>1); 51 for(int i=0;i<n;i++) d[i]=a[i]; 52 NTT(d,n<<1,1); NTT(c,n<<1,1); 53 for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=(2*c[i]-d[i]*c[i]%MOD*c[i]%MOD+MOD)%MOD; 54 NTT(b,n<<1,-1); 55 for(int i=0;i<n;i++) b[n+i]=0; 56 } 57 58 void qiudao(L a[],L b[],int n){ 59 memset(b,0,sizeof(b)); 60 for(int i=1;i<n;i++) b[i-1]=i*a[i]%MOD; 61 } 62 void jifen(L a[],L b[],int n){ 63 memset(b,0,sizeof(b)); 64 for(int i=0;i<n;i++) b[i+1]=a[i]*pow_mod(i+1,MOD-2)%MOD; 65 } 66 67 void getln(L a[],L b[],int n){ 68 static L c[M],d[M]; 69 memset(c,0,n<<4); memset(d,0,n<<4); 70 qiudao(a,c,n); getinv(a,d,n); 71 NTT(c,n<<1,1); NTT(d,n<<1,1); 72 for(int i=0;i<(n<<1);i++) c[i]=c[i]*d[i]%MOD; 73 NTT(c,n<<1,-1); 74 jifen(c,b,n); 75 } 76 77 void getexp(L a[],L b[],int n){ 78 if(n==1){b[0]=1; return;} 79 static L lnb[M]; memset(lnb,0,n<<4); 80 getexp(a,b,n>>1); getln(b,lnb,n); 81 for(int i=0;i<n;i++) lnb[i]=(a[i]-lnb[i]+MOD)%MOD,b[i+n]=0; 82 lnb[n]=0; 83 lnb[0]=(lnb[0]+1)%MOD; 84 NTT(lnb,n<<1,1); NTT(b,n<<1,1); 85 for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=b[i]*lnb[i]%MOD; 86 NTT(b,n<<1,-1); 87 for(int i=0;i<n;i++) b[i+n]=0; 88 } 89 90 int n,m,k,len; 91 L f[M]={0},g[M]={0},h[M]={0},lf[M]={0},lg[M]={0},lh[M]={0}; 92 93 int main(){ 94 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 95 for(len=1;len<=(n+m+2);len<<=1); 96 for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lld",f+i); 97 for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lld",g+i); 98 getln(f,lf,len); 99 getln(g,lg,len); 100 for(int i=0;i<len;i++) lh[i]=(lf[i]*lg[i]%MOD*(i&1?i:-i)%MOD+MOD)%MOD; 101 getexp(lh,h,len); 102 for(int i=0;i<k;i++) printf("%lld ",h[i]); 103 }
