【xsy1596】旅行 期望+状压DP

题目大意：有$m$个人要从城市$1$开始，依次游览城市$1$到$n$。

每一天，每一个游客有$p_i$的概率去下一个城市，和$1-p_i$的概率结束游览。

当游客到达城市$j$，他会得到$(1+\frac{C_j}{C_{j-1}})H_{i,j}$的收益，其中$C_i$表示到访第$i$个城市的人数。

问所有人的期望收益。

数据范围:$n,m≤16$

 

我们考虑状压$DP$

设$f[i][S]$表示到达城市i的人群为$S$的概率。

设$ans[i][S]$表示到达城市i的人群为$S$时，所有人在前$i$座城市的收益和。

不难推出:

$f[i][S]=\sum\limits_{S∈P} f[i-1][P]\times chg(P,S)$

$ans[i][S]=\sum\limits_{S∈P} \big(ans[i-1][P]+f[i-1][P]\times sum[i][S]\times (1+\frac{|S|}{|P|})\big)\times chg(P,S)$

其中，$chg(P,S)$表示前一次游览的人群为$P$,下一次剩下$S$的概率。简单乘一下就行了。

这么转移的复杂度是$O(n\times 3^m)$的，然而他T了。。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 16
#define get orzmyh
using namespace std;

int m,n,all=0;

double p[M+1]={0},h[M+1][M+1]={0},mulp[1<<M]={0},fmulp[1<<M]={0};
double f[M+1][1<<M]={0},ans[M+1][1<<M]={0},mo[1<<M]={0},sum[M+1][1<<M]={0};

double Get(int P,int S){
    return mulp[P&S]*fmulp[P^S];
}
double Sum(int day,int S){
    double res=0;
    for(int i=0;i<m;i++) if((1<<i)&S){
        res+=h[i][day];
    }
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n); all=(1<<m); 
    for(int i=1;i<all;i++) mo[i]=mo[i>>1]+(i&1);
    for(int i=0;i<m;i++) scanf("%lf",p+i);
    
    for(int i=0;i<all;i++){
        double mul1=1,mul2=1;
        for(int j=0;j<m;j++)
        if(i&(1<<j)){
            mul1=mul1*p[j];
            mul2=mul2*(1-p[j]);
        }
        mulp[i]=mul1;
        fmulp[i]=mul2;
    }
    
    for(int i=0;i<m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    scanf("%lf",&h[i][j]);
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int S=1;S<all;S++)
        sum[i][S]=Sum(i,S);
    }
    f[1][all-1]=1; ans[1][all-1]=sum[1][all-1];
    for(int i=2;i<=n;i++){    
        for(int P=0;P<all;P++)
        for(int S=P;~S;S=P&(S-1)){
            double val=Get(S,P);
            f[i][S]+=f[i-1][P]*val;
            ans[i][S]+=(ans[i-1][P]+(mo[P]?sum[i][S]*(1+mo[S]/mo[P])*f[i-1][P]:0))*val;
            if(S==0) break;
        }
    }
    double Ans=0;
    for(int S=0;S<all;S++)
    Ans+=ans[n][S];
    printf("%.10lf\n",Ans);
}

 

于是我后来写了一个$O(nm\times 2^m)$的，代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define M 17
using namespace std;

double f[M][M]={0},h[M][M]={0},p[M]={0};
int n,m;

int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lf",p+i);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        f[i][1]=1;
        for(int j=2;j<=n;j++)
        f[i][j]=f[i][j-1]*p[i];
    }
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%lf",&h[i][j]);
            ans+=f[i][j]*h[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int s=1;s<(1<<m);s++){
            double ps=1,sum=0,pn=0; int cnt=0;
            for(int j=1;j<=m;j++) if(s&(1<<(j-1))){
                ps*=f[j][i];
                cnt++;
                pn+=p[j];
            }else ps*=1-f[j][i];
            
            for(int j=1;j<=m;j++) if(s&(1<<(j-1)))
            sum+=p[j]*h[j][i+1]*(pn-p[j]+1);
            ans+=ps*sum/cnt;
        }
    }
    printf("%.10lf\n",ans);
}