【xsy2504】farm 容斥原理

题目大意：给你三个数$n,m,s$，满足$n,m,s≤10^{18}$且最大质因数均不大于$10^6$。

问你存在多少个整数$k$，满足$0≤k≤m$，且$(k,0)$，$(0,n)$，$(x,y)$组成的三角形面积为$s$，其中$x,y$均为整数。

同时，问你存在多少个整数$p$，满足$0≤p<n$，且$(0,0)$，$(0,p)$，$(x,y)$组成的三角形面积为$s$，其中$x,y$均为整数。

请输出两个问题的和。

不超过1000组数据。

 

对于第一个问题，我们列出三角形面积的式子

 

s=(s黄+s灰+s蓝+s红)-s灰-s红-s蓝

$s=|\frac{1}{2}nk-\frac{1}{2}x(n-y)-xy-\frac{1}{2}y(k-x)|$

经过化简，有$|k(y-n)+nx|=2s$

若方程有整数解，则有$gcd(k,n)|2s$

 

我们设$N[i]$表示数字$n$中出现了多少个质因数$p[i],K[i],S[i]$同理。

若$N[i]>S[i]$，那么有$K[i]≤S[i]$。

基于这个性质，我们就可以通过容斥原理来求了，详见代码。

 

考虑第二个问题，第二个问题显然是求$s$的约数个数，随便搜一下就可以了。

时间复杂度：$O(2^{16}+\sigma(10^{18}))$

 

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MM 1000005
#define NN 80000
#define L long long
using namespace std;

L pow_mod(L x,L k){L ans=1; for(;k;k>>=1,x=x*x) if(k&1) ans=ans*x; return ans;}

int pri[MM]={0},b[MM]={0},use=0,last[MM]={0},id[MM]={0};
void init(){
    for(int i=2;i<MM;i++){
        if(!b[i]) pri[++use]=i,last[i]=1,id[i]=use;
        for(int j=1;j<=use&&i*pri[j]<MM;j++){
            b[i*pri[j]]=1; last[i*pri[j]]=i;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}

int M[NN]={0},N[NN]={0},S[NN]={0};
L a[MM]={0},m,n,s,ans=0,hh=0;

void rd(L &res,int cnt[]){
    res=1;
    for(int i=0;i<3;i++){
        int x; scanf("%d",&x);
        for(res*=x;x>1;x=last[x])
        cnt[id[x/last[x]]]++;
    }
}
void dfs(L x,L id){
    if(id==hh)
    return void(ans+=(x<=n));
    int ID=a[id];
    for(int i=0;i<=S[ID];i++){
        dfs(x,id+1);
        x=x*pri[ID];
    }
}
void solve(){
    memset(M,0,sizeof(M)); memset(N,0,sizeof(N)); memset(S,0,sizeof(S)); ans=hh=0;
    rd(n,N); rd(m,M); rd(s,S);
    s<<=1; S[1]++;
    for(int i=0;i<NN;i++) if(N[i]>S[i]) a[hh++]=pow(pri[i],S[i]+1);
    for(int i=0;i<(1<<hh);i++){
        L mul=1,zf=1;
        for(int j=0;j<hh;j++) 
        if(i&(1<<j)){
            mul=mul*a[j]; zf=-zf;
        }
        ans=ans+(m/mul)*zf;
    }
    hh=0; for(int i=0;i<NN;i++) if(S[i]) a[hh++]=i;
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
    init();
    int t; cin>>t;
    while(t--) solve();
}