均值不等式的常见使用技巧

前言

均值不等式这一素材，是高中数学中少见的几个需要同时验证成立的多条件素材。由于要多头验证，所以学生很不习惯，感觉很难掌握。

公式内容

• 已知两个正数\(a，b\)，则有

$\cfrac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}\;\;$ (当且仅当$a=b$时取到等号)

在使用其求最值时，常使用变形形式：\(a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\;\;\) 和 \(ab\leqslant (\cfrac{a+b}{2})^2\;\;\)；

使用条件

① 各项[如 \(a+b\) 中的 \(a\)、\(b\)]、各因式[如\(a\cdot b\) 中的\(a\)、\(b\)]必须为正数；一正

② 各项的和[如 \(a\)、\(b\) 的和 \(a+b\)]或各因式的积[因式 \(a\)、\(b\) 的积 \(ab\)]必须为常数；二定

③ 各项或各因式能够取相等的值[即方程 \(a=b\) 的解在允许取值范围内]；三相等

简称：一正、二定、三相等，三个条件必须同时成立。^[1]

理解内涵

• 从表达式中的字母内涵入手理解公式

\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，如\(a、b\)可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等

比如这些表达式都可以考虑用均值不等式：

$x+\cfrac{2}{x}\geqslant 2\sqrt{2}(x >0)$；

$\cfrac{2}{x}+\cfrac{x}{2}\geqslant 2(x >0)$；

$2^x+2^y\geqslant 2\sqrt{2^{x+y}}$；

$log_a^b+log_b^a\geqslant 2(log_a^b >0)$；

$sinx+\cfrac{1}{sinx}\geqslant 2(0 < sinx \leqslant 1)$；

$\cfrac{a^2+b^2}{ab}=\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a}\geqslant 2(a，b>0)$；

当你看了以上这么多的式子时，你是否想过它们能否统一用一个式子来刻画。仔细想想，再琢磨琢磨看，是不是能用下面的式子来表示？

\[a+b\geqslant 2\sqrt{ab}(a，b>0) \]

如果这样读书，课本自然就越读越薄了。

理论依据

在均值不等式中，\(\cfrac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}\;\;\) (当且仅当\(a=b\)时取到等号)，若其乘积 \(ab=P\)（\(P\)为定值），则其和 \(a+b\geqslant 2\sqrt{P}\)，当且仅当 \(a=b\) 时，和 \(a+b\) 能取到最小值 \(2\sqrt{P}\)； 简称为“积定和最小” ；

若其和 \(a+b=S\)（\(S\)为定值），则其积 \(ab\leqslant (\cfrac{a+b}{2})^2=\cfrac{S^2}{4}\)，当且仅当 \(a=b\) 时，积 \(ab\) 能取到最大值 \(\cfrac{S^2}{4}\)； 简称为“和定积最大” ；

使用技巧

✍️ 直接使用，充分理解【定积式】和【定和式】两个自创概念；

形如 \(ax+\cfrac{b}{x}\;\)（\(a\),\(b\)为正常数）^[2] 或 \(\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}\) 或 \(\cfrac{a^2+b^2}{ab}=\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b}\;(ab>0)\) 称为定积式[如 \(ax\cdot \cfrac{b}{x}=ab\)]等，这样能自然想起用均值不等式求最小值，比如 \(\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}\geqslant 2\) .

形如 \(x\cdot(2-x)(0<x<2)\) 的表达式称为定和式 [如 \(x+(2-x)=2\)，其和为定值]，自然想到使用均值不等式求最大值，比如 \(x\cdot(2-x)\leqslant[\cfrac{x+(2-x)}{2}]^2=1\)。

✍️ 变形使用，就是为了保证 “一正二定三相等” 的使用条件，我们才不得不使用以下的数学变形。

• 技巧一：负化正，目的是为了满足 “正” 这一条，

引例：当 \(x<0\)时，求最大值：\(y=x+\cfrac{2}{x}=-[(-x)+(\cfrac{2}{-x})]\geqslant -2\sqrt{(-x)\cdot\cfrac{2}{-x}}=-2\sqrt{2}\) ^[3]

• 技巧二：拆添项，如将 项\(x\) 拆分为 \(x=(x-1)+1\)，目的是为了凑乘积为定值，

引例：\(y=x+\cfrac{2}{x-1} (x>1)\)

• 技巧三：凑系数，如将 \(x\cdot y\)的系数 \(1\) 和 \(1\) 利用等价变形分别凑成 \(2\) 和 \(3\)，如 \(xy=\cfrac{1}{6}\cdot(6xy)=\cfrac{1}{6}[(2x)\cdot(3y)]\)，

引例：\(2x+3y=4\)，\(x,y>0\)，求\(xy\)的最大值\(xy=\cfrac{6xy}{6}=\cfrac{(2x)(3y)}{6}\leq \cfrac{1}{6}\cdot \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2\)

• 技巧四： 在指数位置或分母位置使用；^[4]

• 技巧五：连续多次使用均值不等式；^[5]

• 技巧六：\(1\)的妙用或常数代换，已知 \(a,b>0\)，且 \(a+b=1\)，求证：\((1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})\geqslant 9\)； ^[6]

• 技巧七： 求限定条件下的最值[高考高频考点]

方法：常数代换和乘常数再除常数，^[7]

• 技巧八：将以上技巧组合使用；^[8]

• 技巧九：直接给定的不是 \(ax+\cfrac{b}{x}\) 型的，通过恒等变形，构造\(ax+\cfrac{b}{x}\)型(高考中的高频变形)，

方法思路：此处应该联系分离常数方法，和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数；^[9]

• 闭环补充 ：均值不等式失效时，需要用到对勾函数的单调性；

比如求 \(g(x)=x+\cfrac{2}{x}(x\geqslant 2)\)的最小值；^[10]

相关链接

• 1、在三角函数和解三角形中

• 2、例谈学习方法的改造和提升

• 3、配凑法、换元法

• 4、对勾函数的单调性

• 5、理解数学的本质提高学生数学素养

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1. 均值不等式中还有一个需要注意的地方：\(a，b\in R\)，【错例】如已知向量的内积\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1，\)则有人这样做\(\vec{a}+\vec{b} \ge 2\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{b}}=2\)，这是错的，因为\(\vec{a}，\vec{b}\)不是实数，而是向量。 ↩︎

2. 当 \(a=1\)，\(b=k>0\) 时， \(ax+\cfrac{b}{x}\;\) 简化为 \(x+\cfrac{k}{x}(k>0)\)，它其实就是最简单的对勾函数 \(f(x)=x+\cfrac{k}{x}(k>0)\) 在 \(x>0\) 时的图像的最低点。 ↩︎

3. 过点\(P(2，1)\)作直线\(l\)，分别交\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，当\(\triangle AOB\)的面积最小时，求直线\(l\)的方程；
   分析：过点\(P\)的直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，
   则直线\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小于零，故设为\(y-1=k(x-2)\)，
   则点\(A(2-\cfrac{1}{k}，0)\)，\(B(0，1-2k)\)，\(k<0\)；
   则\(S_{\triangle AOB}=\cfrac{1}{2}|OA|\cdot |OB|=\cfrac{1}{2}(2-\cfrac{1}{k})(1-2k)\)\(=\cfrac{1}{2}(4-4k-\cfrac{1}{k})\)
   \(=\cfrac{1}{2}[4-(4k+\cfrac{1}{k})]\)\(=\cfrac{1}{2}[4+(-4k)+\cfrac{1}{(-k)}]\)\(\geqslant \cfrac{1}{2}\left [4+2\sqrt{(-4k)\cdot \cfrac{1}{(-k)}}\;\;\right ]=4\)
   当且仅当\(-4k=-\cfrac{1}{k}\)，即\(k=-\cfrac{1}{2}\)时等号成立，
   故所求直线\(l\)的方程为\(x+2y-4=0\). ↩︎

4. \(2^x+4^y=4\)，则\(x+2y\)的最大值是________.
   分析：\(4=2^x+4^y \ge 2\sqrt{2^{x+2y}}\)，则有\(2^2 \ge 2^{x+2y}\)，故\(x+2y \leq 2\)。
   求：\(\cfrac{x}{x^2+3x+1}=\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x}+2}\) 的最大值。 ↩︎

5. 设\(a,b\)均为正实数，求证：\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+ab\ge 2\sqrt{2}\).
   分析：由于\(a>0,b>0\)，故有\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 2\sqrt{\cfrac{1}{a^2}\cdot\cfrac{1}{b^2}}=\cfrac{2}{ab}\)， 当且仅当\(\cfrac{1}{a^2}=\cfrac{1}{b^2}\)，即\(a=b\)时等号成立；
   又\(\cfrac{2}{ab}+ab\ge 2\sqrt{\cfrac{2}{ab}\cdot ab}=2\sqrt{2}\)，当且仅当\(\cfrac{2}{ab}=ab\)时等号成立；
   所以\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+ab\ge \cfrac{2}{ab}+ab\ge 2\sqrt{2}\)， 当且仅当\(\begin{cases}\cfrac{1}{a^2}=\cfrac{1}{b^2}\\\cfrac{2}{ab}=ab\end{cases}\)，即\(a=b=\sqrt[4]{2}\)时取等号。
   故，\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+ab\ge 2\sqrt{2}\). ↩︎

6. 提示：\((1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})\)\(=\)\((1+\cfrac{a+b}{a})(1+\cfrac{a+b}{b})\)
   \(=\)\((2+\cfrac{b}{a})(2+\cfrac{a}{b})=4+1+2(\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b})\geqslant 5+2\times2\sqrt{\cfrac{b}{a}\times\cfrac{a}{b}}=9\) ↩︎

7. 引例1，如已知\(2a+3b=2，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值。
   \(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b}=\cfrac{1}{2}\cdot (2a+3b）(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b})=\cfrac{1}{2}\cdot (6+6+\cfrac{4a}{b}+\cfrac{9b}{a})=\cdots\)
   引例2，如已知\(x，y>0\)，\(xy=10\)，则 \(z=\cfrac{2}{x}+\cfrac{5}{y}\)的最小值；
   法1：变量集中，二元变一元得到定积式。由 \(xy=10\) 得到 \(y=\cfrac{10}{x}\) ，代入 \(z=\cfrac{2}{x}+\cfrac{5}{y}\)\(=\cfrac{2}{x}+\cfrac{x}{2}\geqslant2\)
   法2：乘常数除以常数， \(z=\cfrac{2}{x}+\cfrac{5}{y}\)\(=\cfrac{1}{10}\times(xy)(\cfrac{2}{x}+\cfrac{5}{y})=\cfrac{1}{10}(5x+2y)\)\(\geqslant \cfrac{1}{10}\times2\sqrt{10\times xy}=2\) ↩︎

8. 【引例1】已知\(a>1，b>0， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\))
   【引例2】已知\(a>1，b>2， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1\)) ↩︎

9. 比如，形如\(\cfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}(a，b，c，d，e为常数)\xrightarrow[代换法]{配凑法}ax+\cfrac{b}{x}\)型(分子上使用均值不等式)
   形如\(\cfrac{dx+e}{ax^2+bx+c}(a，b，c，d，e为常数)\xrightarrow[代换法]{配凑法}\cfrac{1}{ax+\cfrac{b}{x}}\)型(分母上使用均值不等式) ↩︎

10. 当你使用均值不等式[能看到已满足正定]时，得到 \(g(x)=x+\cfrac{2}{x}\geqslant 2\sqrt{2}\)，形式上有了最小值 \(2\sqrt{2}\)，当且仅当\(x=\cfrac{2}{x}\)，即 \(x=\sqrt{2}\) 时才能取到等号；但是这是错误的，原因是等号在自变量的取值集合(定义域) \(\{x\mid x\geqslant 2\}\)内取不到。此时我们利用其单调性，可知其在\([2，+\infty)\)上单调递增，故\(g(x)_{min}=g(2)=2+\cfrac{2}{2}=3\)。 ↩︎