几何概型
几何概型的定义，思维训练，相关类型以及典型例题。
前言
在一条线段上任取一个点，形成的是一条线段，所以所有的结果有无穷多种，应该用线段的长度来度量；
在一个正方形内任取一个点，形成的是一个平面区域，所以所有的结果有无穷多种，应该用正方形的面积来度量；
几何概型
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定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
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两个基本特点：
无限性：可能出现的所有结果的无限性，
等可能性：每个结果的发生具有等可能性此处应该理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何量(长度、面积、体积等)成正比，而与该区域的位置和形状无关。\(\quad\).
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随机模拟方法：几何概型的应用
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思维体操：
\(\qquad\qquad\qquad\)古典概型 \(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\) 几何概型
\(a\qquad\quad\in\{1，2，3，4，5，6\}\xlongequal[有限\Rightarrow无限]{一维} a\qquad\quad\in [1，6]\)，用一维数轴刻画
\(a,b\quad\quad \in\{1，2，3，4，5，6\}\xlongequal[有限\Rightarrow无限]{二维} a,b\quad\quad\in [1，6]\)，用二维直角坐标系刻画
\(a,b,c\quad\;\in\{1，2，3，4，5，6\}\xlongequal[有限\Rightarrow无限]{三维} a,b,c\quad\in [1，6]\)，用三维空间坐标系刻画
概率公式
“测度”指的是：长度[线段长度或弧长]、角度、面积、体积、时间等。
区别联系
- 古典概型与几何概型的区别与联系
| 名称 | ||
|---|---|---|
| 相同点 | 基本事件发生的可能性都相等； | 基本事件发生的可能性都相等； |
| 不同点 | ①基本事件数是有限个； ②\(P(A)=0\)\(\Leftrightarrow A\)为不可能事件； ③\(P(B)=1\)\(\Leftrightarrow B\)为必然事件； |
①基本事件数是无限个； ②\(P(A)=0\)\(\Leftarrow A\)为不可能事件； ③\(P(B)=1\)\(\Leftarrow B\)为必然事件； |
古典+几何
对照题目
廓清认知
分析：本题目的所有结果有无限个，又有等可能性，故是几何概型。 其概率是\(P(A)=\cfrac{0}{10}=0\)
所以说，不可能事件\(A\)的概率\(P(A)=0\)，但是反之不成立， 比如上例中概率为0，但是却是随机事件，不是不可能事件。
- 易混题型
分析：本题是角度型几何概型， \(P=\cfrac{30^{\circ}}{75^{\circ}}=\cfrac{2}{5}\)。
解后反思：本例容易错误的理解为长度性几何概型， 主要是射线\(AM\)扫过\(\angle BAC\)时，用角度度量是等可能的，用长度度量不是等可能的。用课件说明：如图动画所示，当射线\(AM\)扫过\(\angle BAC\)时，我们可以看到是等速的，也就是等可能的，但是当我们看点\(M\)在线段\(BC\)上的速度时，会发现快慢不一样，即不是等速的，也就是说不是等可能的，故此时不能用线段\(BC\)的长度来度量，而应该用角度度量。
分析：本题目是长度型的几何概型，\(P=\cfrac{1}{1+\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)。
解后反思：等可能性不是我们说等可能就能保证等可能的。
在\(\angle BAC\) 内作射线\(AM\)交\(BC\)于点\(M\)，意味着角度型；在\(BC\)上任取一点\(M\)，意味着长度型；
- 长度型和面积型的区分
比如，从区间\([0，1]\)上分别任意取数字\(x\)和\(y\)，这时候理解为长度型是不合适的，原因是取到\(x\)值时会对取\(y\)值产生影响；此时我们常常将两个区间正交放置，此时由无数个点\((x，y)\)形成的区域是边长为1的正方形，故应该是面积型几何概型。
典例剖析
- 长度型几何概型
分析：由\(6+x-x^2\ge 0\)，解得\(-2\leq x\leq 3\)，由长度型几何概型可知，\(P=\cfrac{3-(-2)}{5-(-4)}=\cfrac{5}{9}\)。
分析：由\(-1\leq log_{\frac{1}{2}}(x+\cfrac{1}{2})\leq 1\)解得，\(0\leq x\leq \cfrac{3}{2}\)，由长度型几何概型可知，\(P=\cfrac{\frac{3}{2}-0}{2-0}=\cfrac{3}{4}\)。故选\(A\)。
分析：圆心为\((5，0)\)，半径为\(r=3\)，故由直线与圆相交可得\(d=\cfrac{|5k-0|}{\sqrt{k^2+1}}<3\)，解得\(-\cfrac{3}{4}<k<\cfrac{3}{4}\)，
故所求概率为\(P=\cfrac{\cfrac{3}{4}-(-\cfrac{3}{4})}{1-(-1)}=\cfrac{3}{4}\)。
说明：由直线与圆相交可得，\(\Delta >0\)，也可以解得\(-\cfrac{3}{4}<k<\cfrac{3}{4}\).
- 角度型几何概型
分析：本题是角度型几何概型， \(P=\cfrac{30^{\circ}}{75^{\circ}}=\cfrac{2}{5}\)。
- 时间型几何概型
分析：小明到达的时刻用40分钟来度量，其中等车时间不超过\(10\)分钟的时间段是$7：50\sim $$8：00$和$8：20\sim $$8：30$，故所求为时间型几何概型；
故\(P=\cfrac{10+10}{40}=\cfrac{1}{2}\)，故选\(B\)。
- 面积型几何概型
分析：由\(n\)个数对(点的坐标)构成的是边长为1的正方形，故属于面积型几何概型，两数的平方和小于1的数对(点的坐标)在四分之一个单位圆内部，
故由随机模拟方法可知，\(\cfrac{m}{n}\approx \cfrac{\frac{1}{4}\times \pi\times 1^2}{1\times 1}=\cfrac{\pi}{4}\)，即\(\pi\approx \cfrac{4m}{n}\)，故选\(C\)。
- 体积型几何概型
分析：点\(P\)的所有结果用正方体的体积来度量，当点\(P\)到点\(O\)的距离等于1时，点\(P\)在球心为\(O\)的半球面上，则当点\(P\)到点\(O\)的距离大于1时，点\(P\)在球心为\(O\)的半球外部且在正方体的内部，
故所求\(P=\cfrac{2^3-\cfrac{1}{2}\times \cfrac{4}{3}\times \pi\times 1^3}{2^3}=1-\cfrac{\pi}{12}\)。
分析：如图所示，三棱锥\(S-ABC\)与三棱锥\(S-APC\)的高相同，
要使三棱锥\(S-APC\)的体积大于\(\cfrac{V}{3}\)，只需\(\triangle APC\)的面积大于\(\triangle ABC\)的面积的\(\cfrac{1}{3}\)，
假设点\(P'\)是线段\(AB\)靠近点\(A\)的三等分点，则三棱锥\(S-APC\)的体积大于\(\cfrac{V}{3}\)发生的区域应该是线段\(P'B\)，
故所求为\(P=\cfrac{P'B}{AB}=\cfrac{2}{3}\)。
解后反思：本题目由体积型几何概型入手，利用两个几何体的高度相同将体积之比转化为面积之比，再利用两个三角形的高度相同将面积之比转化为线段之比，从而转化为长度型几何概型求解。
分析：由于\(S_{阴影}=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\;dx=\cfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}|_0^1-\cfrac{1}{3}\cdot x^3|_0^1=\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{3}\)，又正方形的面积为1，则所求概率为\(\cfrac{1}{3}\)，故选\(B\)。
引申：①\(S_{阴影}=\cfrac{1}{3}\)，则其三等分正方形。
提示：选\(D\)。
难点题型
分析：在边长为\(4\)的等边三角形\(\triangle OAB\)的内部任取一点\(P\)，则点\(P\)的所有结果构成等边三角形区域，其结果应该用\(S_{\triangle OAB}\)来度量；
做出如下的示意图，当在三角形内部取点\(P\)时，应该满足一定的条件
由\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}\leqslant 4\)，即\(4\times |\overrightarrow{OP}|\cos\theta\leqslant 4\)，
即\(|\overrightarrow{OP}|\cos\theta\leqslant 1\)，即向量的射影的长度\(|OD|\leqslant 1\)，
故点\(P\)只能落在\(\triangle ODE\)中，故其所有结果应该用\(S_{\triangle ODE}\)来度量，
由于\(|OD|=1\)，\(|DE|=\sqrt{3}\)，故所求概率为\(\cfrac{S_{\triangle ODE}}{S_{\triangle OAB}}=\cfrac{\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{3}}{\frac{1}{2}\times 4\times 4\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\cfrac{1}{8}\)，故选\(A\)。
分析：由题目知，设点\(P(3\cos\theta，3\sin\theta)\)，\(Q(5\cos\phi，5\sin\phi)\)，\(M(x，y)\)，
则\(x=\cfrac{3\cos\theta+5\cos\phi}{2}，y=\cfrac{3\sin\theta+5\sin\phi}{2}\)
则\(x^2+y^2=\cfrac{17}{2}+\cfrac{15}{2}\cos(\theta-\phi)=r^2(1\leq r \leq 4)\)
所以\(P=\cfrac{16\pi-\pi}{25\pi}=\cfrac{3}{5}\)，
分析：集合\(M\)的所有非空子集有\(2^9-1=511\)种，从中任选一个集合有\(C_{511}^1=511\)种，
而其中是“伙伴关系集合”，是从集合\(\{-1，1，2(\frac{1}{2})，3(\frac{1}{3})，4(\frac{1}{4})\}\)中，
任选\(1，2，3，4，5\)个构成的集合，
说明：其中\(4(\frac{1}{4})\)表示这两个值绑定为一个；
所以共有\(C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=2^5-1=31\)种，故所求概率\(P=\cfrac{31}{511}\)。
分析：如右图所示，令\(7:00\)对应0，\(8:00\)对应1，设甲乙两人到达的时刻分别为\(x，y\)，则其相当于在区间\([0，1]\)上取值一样，“约定甲早到应等乙半小时”即\(y-x\leq \cfrac{1}{2}\)，即\(x-y \ge -\cfrac{1}{2}\)，“乙早到无需等待甲即可离去”意味着\(x-y>0\)，那么两人会面应该满足条件\(-\cfrac{1}{2}\leq x-y \leq 0\)，
即右图中的阴影部分，所以所求的概率为\(P=1-\cfrac{\cfrac{1}{2}\times \cfrac{1}{2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\times 1 \times 1}{1}=\cfrac{3}{8}\).
本题目的难点有以下三个：
①到底该是用一维来刻画还是用二维来刻画；两个刻画时刻的数轴的呈现方式，到底该平行还是垂直，还是斜交。
②关于时刻的转化，\(7:00\)对应数值\(0\)，\(8:00\)对应数值\(1\)，则\(7:00 \sim 8:00\)任一时刻的到达对应区间[0，1]的任意取值。半小时对应数字\(\cfrac{1}{2}\).
③将甲、乙两人会面的文字条件转化为数学语言，即线性不等式组。
【解后反思】①本题目通过设置两个变量\(x\)，\(y\)，将已知的文字语言转化为\(x\)，\(y\)所满足的不等式(数学语言)，进而转化为坐标平面内的点\((x，y)\)的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型几何概型。
②若题目中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解。
分析：课件示意图，面积型几何概型，
故所求概率\(P=\cfrac{4-\int_1^2(2-\cfrac{2}{x})\;dx}{4}=\cfrac{4-(2x|_1^2-2lnx|_1^2)}{4}=\cfrac{1+ln2}{2}\)
给出方式
- 总结长度型几何概型的事件的给出方式
在区间\([-5，5]\)上随机取一个数\(k\)，则事件\(A：\)“直线\(y=kx\)与圆\((x-5)^2+y^2=9\)相交”发生的概率为____________。
则①以直线和圆相交的方式给出；
②以定义域的方式给出；
③以函数单调递增的方式给出，比如使得函数\(f(x)=x^3+mx^2+3x\)在\(R\)上单调递增的概率，即求\(f'(x)\ge 0\)的解集；
④以不等式的解集形式给出，比如\(A=\{x\mid \cfrac{x-1}{2-x}>0\}\)；
⑤以三角不等式的形式给出，比如\(A：sinx+\sqrt{3}cosx\leq 1\)；
